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alors la fonction u doit satisfaire à cette équation et à la condition d'être 

 nulle sur le contour, et la fonction ii ayant été convenablement choisie 

 ainsi que a, la formule (2) donnera la solution simple. 



» Si le contour est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes 

 des a; elj, on sait que l'on doit prendre u de la forme J\x) (p{f)', ce qui 

 permet de déterminer immédiatement les deux fonctionsy(x), (p(j-) et la 

 constante a. 



» Si le contour est un cercle, le facteur ii de la solution simple se met 

 sous la formey(R) ç/(a), R, a étant des coordonnées polaires dont l'origine 

 est au centre et/ f R), cf{a) satisfaisant à des équations difféi-entielles du se- 

 cond ordre. Si le contour est une ellipse, la solution simple est beaucoup 

 plus difficile à former; elle peut cependant aussi se mettre sous la forme 

 J'{<x)f{^), a, |3 étant les paramètres d'ellipses et d'hyperboles liomofocales. 



» Mais les résultats particuliers qtie je viens de rappeler ne jettent 

 aucune lumière sur la définition générale de la solution simple. 



» Pour trouver le caractère de la solution simple, quel que soit le con- 

 tour s, j'ai observé d'abord que toute fonction u qui satisfait à l'équation 



(3) dans l'intérieur d'un contour et qui y est finie et continue, ainsi que 

 ses dérivées du premier ordre, peut se mettre sous la forme 



(4) ii—l^pds avec N= / cos(fl/' cosoi) log(rsiu-i))c?(k), 



ds étant un élément du contour, /-la distance d'un point intérieur (.^,7) à 

 l'élément ds, p une fonction qui ne dépend que des coordonnées de ds, et 

 l'intégrale se rapportant à tous les éléments du contour. 

 » Si, au lieu de l'équation (3), nous avions 



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le théorème précédent subsisterait avec le seul changement de a en « v' — ' 

 dans l'expression de N ; de plus on peut alors démontrer que, si la fonc- 

 tion u s'annule sur les contours, elle est nulle en tous les points intérieurs. 

 Mais ce dernier résultat n'a plus lieu si u est solution de (3). 



» Si l'on prend pour le contour.? un cercle, j'ai démontré que la for- 



