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 mule (4) peut semeltre sous la forme de la série suivante : 



CoQo(R,«) + (C, cosa + D,sina)Q,(R,a) + . . . 



■+- [C„cosua ■+- D„ sin/ia)Q„(R,rt) + . . . , 



C„, D„ étant des coefficients constants et Q„(R,rt) la solution de l'équa- 

 tion 



qui ne devient pas infinie pour R = o. 



» On voit immédiatement qu'on pourra déterminer tous les coefficients 

 et d'une seule manière, de telle sorte que, pour le contour R = R,, ?< soit 

 une fonclion donnée arbitrairementy(a). Il y aura toutefois exception 

 dans le cas où a sera racine d'une des équations 



(5) Qo(R,,a) = o, Q,(R,,a) = o, ..., Q„(R,,a) = o, .... 



Au contraire, si l'on veut qneu soit nul sur le contour, tous les coefficients 

 C,„ D„ sont nuls en général et u est partout nul à l'intérieur du contour. Il 

 y atoutefois exception si a est racine d'une des équations (5) Q„(R),«) = o; 

 car alors on aura aussi la solution 



u = [CnCosna -h D„sin«a)Q„(R,fl); 



or cette expression, étant substituée dans la formule (a), donne précisément 

 la solution simple. 



» Ainsi cette forme particulière si remarquable que l'on a pour le fac- 

 teur u de la solution simple, quand le contour est un cercle, se trouve 

 exigée par les seules conditions de continuité de la fonction u et de ses pre- 

 mières dérivées à l'intérieur du cercle. 



)) J'ai fait la même recherche dans le cas où le contours se compose, ou 

 de deux cercles concentriques, ou d'un rectangle, ou d'une ellipse ou de 

 deux ellipses homofocales. Dans tous ces cas, on arrive au résultat sui- 

 vant : 



Théorème. —■ Il / a en général une fonction et une seule qui satisfait à 



l'équation 



(f II d- u , 



fij;' cly' 



dans iintcriciir du contour s, qui 2' est finie et continue ainsi que ses dérivées 



