( ioi3 ) 

 seulement, x, y, z, une intégrale particulière représentera une surface en- 

 gendrée par une série quelconque de courbes satisfaisant aux équations 

 différentielles correspondantes. 



» Toute intégrale particulière algébrique satisfera à la relation 



où R sera un polynôme d'ordre /?i — i. Cette équation est fondamentale 

 dans cette théorie et conduit aux mêmes conséquences que l'équation 

 analogue de ma première Communication. 



» En particulier, on obtient les théorèmes suivants : 



c- ;• .111 m + i) ... \ m -i- n — i] ,» • . - / ■• /•> i ■ 



» Ai / on continu — ^ ^ = M„ inlecjrales particulières nUje- 



briques de système (i), on pourra trouver le multiplicateur du système. 



» Si l'on connaît M„ -l- /■ intégrales particulières algébriques du même sys- 

 tème, on pourra en déterminer le multiplicateur et r intégrales générales. 



» Si l'on connaît M„ -h n — \ = q intégrales particulières algébriques 

 Uf, . . . Uq, on pourra ejfectuer l'intégration complète. Les intégrales se présente- 

 ront sous la forme suivante : 



u\'H'-... iC/ = C„ 

 ^5^ ,,/■«^..< =C,, 



a']' là ... u';^ ■= C„_,. 



)) Prenons, par exemple, le cas où L,, ..., L„ sont des fonctions li- 

 néaires; on trouvera facilement ii intégrales particulières de la forme 



Xa = Alx, + k'ix^ + . . . + k'lx„ + Ba = o, 



et les intégrales générales seront 



X, Xj" = C, , . . , X, A„" = C„_| . 



Réciproquement, on peut obtenir aisément le degré des polynômes L, 

 dans les équations différentielles de tout système de ia forme (5) ; on trouve 

 que, si /i,, //o, . . . , //,, sont des degrés de «, , . . . , «^, le degré m des poly- 

 nômes L est au plus égal à 



ni = /i, I- /i; + . . . H- //, — Il -h I . 



