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II suit de cette remarque que l'on obtient tout de suite un certain nombre 

 de formes possibles des intégrales pour tous les systèmes d'équations diffé- 

 rentielles appartenant à un degré déterminé m. 



» Par exemple, si m =:z a, on aura autant de types d'intégrales qu'il y a 

 de manières de résoudre en nombres entiers positifs l'équation 



h, + 7?2 T . . . -1- h^ -= « -!- I , 



M Les remarques précédentes subsistent encore quand on considère le 

 système ( i ) en supposant que les variables jt, , . . . , .r„ soient liées par une 

 relation déterminée ; et, comme on a alors le système d'équations diffé- 

 rentielles algébriques auquel on peut ramènerions les autres, on voit que 

 les propositions précédentes s'appliquent à toute équation différentielle 

 algébrique ou à tout système d'équations différentielles algébriques d'ordre 

 quelconque. Mais il y a quelques explications à donner sur ce que l'on doit 

 appeler une intégrale particulière. Je reviendrai sur ce sujet, si l'Académie 

 veut bien le permettre, dans une antre occasion. » 



ANALYSE. — Sur une proposition de Didon. Note de M. Escary. 



« Dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (2" série, t. XI, p. 96), 

 Didon a publié, sans démonstration, l'identité suivante : 



(') 



[\~i[a + b-^c-h ■..)x + {a + b + c '\- .■.)[ak- -^bK- -A- cC- + ...)] 5 



dans laquelle on a 



« + /5 + 7 -H- . . . — //. 



» La démonstration de cette identité s'obtient d'ailleurs sur-le-champ, 

 par le développement, au moyen de la formule de Lagrange, de la plus 

 petite des racines de l'équation du second degré 



ii = x + ^ [u- - A-) + '-^[ir - B=) + J {u- - C=) + . . . . 



» Comme on le voit, cette identité présente une grande indétermination, 

 en ce sens que les paramètres a, b, c, ... ; A,B, C, ... sont absolument ar- 

 bitraires. 



