( ioi8 ) 

 dans laquelle nous désignons par a un entier supérieur à zéro, par ê un 

 entier non négatif, mais inférieur à a, et par ('„ le terme général d'une 

 série récurrente proprement dite. 



M Les séries de cette espèce ne sont point rares dans l'Analyse. Elles 

 s'y présentent notamment comme intégrales des équations différentielles 

 linéaires à coefficients constants sans second membre, et comme multi- 

 plicateurs des puissances successives du module dans les développements, 

 suivant ces dernières puissances, soit des fonctions elliptiques, soit des 

 fonctions de M. Weierstrass. Toutes jouissent de cette propriété remar- 

 quable que leur somme peut toujours s'exprimer, sous forme finie, à 

 l'aide d'un polynôme entier par rapport à la variables: et à des exponen- 

 tielles de la forme e'"^. Nous avons, par un moyen simple, déterminé 

 l'expression générale de cette somme, et c'est cette expression que nous 

 allons faire connaître. 



» Le coefficient <'„ étant le terme général d'une série récurrente pro- 

 prement dite, si nous désignons par v une racine quelconque de l'équa- 

 tion génératrice de celte série, et par p le degré de multiplicité de cette 

 racine, nous avons, comme on sait, l'égalité 



dans laquelle le 2 s'étend à toutes les racines de réquation génératrice, 

 et où ë, («) représente u\\ polynôme entier en n du degré p — i, de sorte 

 que l'on peut écrire 



ijn) = P^^„ + P,_, n -h P,_,, «= + . . + P,,p_, ?if-' . 



» Nous supposons cette expression de i'„ complètement connue; en 

 d'autres termes, nous supposons connues toutes les racines de l'équation 

 génératrice, ainsi que leurs degrés respectifs de multiplicité et les poly- 

 nômes ^ qui leur correspondent : ce sont là nos données. 



M Cela posé, si nous désignons par S la somme cherchée de notre 

 série; par r,, r.,, Tj,..., r^ les a racines û:'"'"*^' de r; que, représentant 

 symboliquement par A'''(o — ê/'"^^ l'expression 



A''o''+-^' - ,, (^' + -''); gA^'o^'-^-^'-' 

 (/(H-'fl — I )!i! 



+ (A±^ g. A"o"-'-- - . . ± i^^ ê^' A"o", 



