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 dans l'un iCeux A on substitue de toutes les façons possibles, à lu place de q co- 

 lonnes, q des colonnes de B, on obtient une série de déterminants à n- éléments 



I • I . r«(" — i) — (« — 7 -t- 01' r-2 /' , -y 



en nombre ecjal a — ■ ■ = t.„^^, que l on peut considérer 



comme les éléments d'un nouveau déterminant y qui est égal à A*^"-'» X B'^"-''-'. 



» Pour le démontrer, il n'est besoin d'aucune notation. Il suffit de dé- 

 velopper par la pensée chacun des éléments de v sous forme de somme de 

 produits de mineurs complémentaires, d'après la règle de Laplace, et il 

 apparaît alors immédiatement comme le produit, effectué suivant la règle, 

 du déterminant aux mineurs d'ordre 5''* de A, lequel est égal à A'^"-' % par le 

 déterminant aux mineurs d'ordre n — q de B, lequel est égal B*^"-' '-'. 



» Les théorèmes suivants se déduisent sans peine du précédent et de 

 ceux que nous avons déjà énoncés : 



» Théorème II. — Si l'on forme le déterminant aux mineurs d'ordre k d'un 

 déterminant A à rr éléments, et si Von fait la même opération pour un déter- 

 minant E à 7i^ éléments ; si l'on isole dans chacun d'eux /esC„_/, a_/, ligiies dont 

 les éléments proviennent de n — h lignes fixes de A ou de B[q ^h)et si ion porte 

 celles du second à lu place de celles du premier, on obtiendra un nouveau dé- 

 terminant qui sera égal à D^«-''-i.« * ■^y^c-n^<.i.-C;, « ,,» ;,^ ^^ appelant D le détermi- 

 nant formé avec les n — h lignes fixes de B et les h autres lignes de A. 



» Théorème III. — Si l'on forme un déterminant y' en permutant les dé- 

 terminants A et B, de la même façon que ceux-ci ont servi à former le détermi- 

 nant y (théorème 1), le rapport de deux mineurs complémentaires, l'un p. 

 d'ordre h dans y? lautre M d'ordre C„,^— h dans y, est donné par la relation 



M 



» Théorème IV. — Le mineur "N àC„_h,,i-h lignes et colonnes de\} dont 

 les éléments sont formés avec n — q colonnes de A prises dans n — h colonnes 

 fixes de ce déterminant [q ^ II) et avec les q colonnes correspondantes de B, 

 lesquelles renferment conséquemment les h coloimes de B complémentaires des 

 n — h colonnes fixes de A, est égal à G*^"-*-''" X B'^"*-''-"', G étant le déter- 

 minant provenant de la substitution des n h colonnes fixes de K à laplace de 

 leurs correspondantes dans B. m 



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