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 tielles et les logarithmes. Je me suis attaché à établir tout d'abord la rela- 

 tion de forme algébrique, que l'on obtient entre un nombre et son loga- 

 rithme, quand on fait usage d'exposants ou radicaux de degré infini : ce 

 qui me paraît jeter un grand jour sur cette matière. 



» Quant aux exponentielles, après avoir indiqué leur propriété fonda- 

 mentale ou la relation 



j'insiste sur la nécessité d'attribuer, à la constante m, sa valeur la plus gé- 

 nérale m=^ p + q\j — V : ce qui transforme l'exponentielle proposée en le 

 produit de deux autres exponentielles, suivant la relation 



(2) a"'-^=xrt/'^avV-i-^; 



faisant alors 



(3) x'=^xp\o^a, x" ~ xqloga, 

 l'exponentielle proposée devient 



a'"' — e^'e^'V-'. 



)) On reconnaît ainsi que toute exponentielle est égale au produit de 

 deux exponentielles de la forme e^ et e^^~'. 



)) Il convient donc d'étudier séparément l'une et l'autre. L'étude de la 

 première fournit aisément la théorie des fonctions hyperboliques ,^iii.x' et 

 (Cosx; l'étude de la seconde fournit de même la théorie des fonctions 

 circulaires siiix et cosx : dés le début, on parvient aisément à établir la 

 période réelle ou imaginaire de ces fonctions (voir Comptes rendus, 

 t. LXXXIII, p. 594). 



» Tel est le cadre que je m'étais tracé pour la rédaction de l'exposé 

 des fonctions hyperboliques mentionné plus haut. J'avais abandonné ce 

 sujet, pour m'occuper du Traité de nouvelle navhjnlion, lorsque l'idée me 

 vint de poursuivre l'étude des exponentielles, en réunissant celles que j'a- 

 vais dû séparer pour les étudier isolément. 



M A cet effet, je posai, suivant l'usage, 



(4) pcos9—p, psinû — q, 



