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 et substituer à K le reste /', dans l'exponentielle considérée, sous la condi- 

 tion de donner à cette exponentielle le signe de (— i)'" ou celui de [± ij', 

 selon que ?i est pair ou impair. 



» Effectuant cette réduction des exposants de cet posant 



OgX = 



cp^x — 



3f> 



X 



I 



1 .1 

 x> 



1.2.3 



1 . 2 . 3 . . .m 



. 2 . 3 . . . ( a /// j 



1.2.3... (3m j 



j^+î 



1.2.3... (4»n) 



I 2.3...(/?i-l- 1) i.2.3...(2/n-|-i) i.2.3...(3/n +i) i .2.3...(4'" + i} 



I.2.3...(m + 2) I.2.3...(2/W-+-2) I.2.3...(3m-|-2) I.2.3...(4»»+2) 



i.2.3...(to+ 3) 1 .2.3...[2m-t-3j i.2.3...(3/n-l-3j i .2.3...(4'n -H 3; " 



?"--. 



X 



x""- 



+ • 



I.2.3...(/7( — Ij I.2.3...(2/« — IJ ■ I.2.3...(3/« — Ij 1.2. 3. ..(4"' — 'J I.2.3...[Ô/« — ij 



expressions où les signes supérieurs se rapportent au cas de n pair et les 

 inférieurs à celui de « impair, on aura la transformation suivante de 

 l'exponentielle (6) : 



;8) 



xe'i' ■' 



o^x -t- a,x .e 



I - - V- 1 



-A- OoX .e 



■' z.-r.v 



(p,„^,x.e 



fsX.e '" ^ 



m 1 



, nu I 



('"- ')- -V- ' 



B Les fonctions 90-^5 • • • ? 'fm-\^i q"e nous venons de former, se pré- 

 sentent comme une conséquence nécessaire de l'étude de l'exponenliolle 

 générale a"^^ . Leur existence a été signalée pour la première fois, il y a plus 

 de cinquante ans, par H. Wronski. Ce géomètre lésa obtenues en suivant 

 une voie différente; il les a désignées sous le nom collectif de sinus (nous 

 verrons bientôt, en effet, que les sinus et cosinus circulaires ou hyperbo- 

 liques n'en sont que des cas particuliers). Remarquant que o^x se réduit à 

 l'unité quand x s'annule et que les autres fonctions (f,x, . . ., ç),„_| se ré- 

 duisent à zéro en même temps que cette variable, Wronski conserve à 

 (po.r la dénomination do cosinus, et désigne les ni — 1 autres fonctions par 

 celle de sinus. Le nombre m — i des sinus proprement dits caractérise, 

 pour ce géomètre, Vordre de ces fonctions, en sorte que les sinus hyper- 

 boliques et circulaires, ou du premier ordre, correspondent à m ^-^ 2. 



