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» Il désigne yiO-, ffi.,^, .,(p,„^,xrespec\ivementpari",2^,...,{m — i)'™' 

 sinus. 



I) Les signes supérieurs qui figurent dans les expressions des fonctions 

 ftiX, ..., <p,„^,x doivent être pris, avons-nous dit, lorsque» est pair et les 

 signes inférieurs quand « est impair; d'où deux genres de fonctions o^^x 

 pour chaque valeur de jn. 



» La valeur paire de n se rapporte au gejire liyperbolique et la valeur 

 impaire caractérise le yenre elliplique : i\ est aisé de se rendre compte de 

 ces dénominations. Nous distinguerons bientôt ces deux genres en rempla- 

 çant, pour le premier, la lettre y par J^ et, pour le second, pary^ 



» La distinction entre les deux genres de fonctions subsiste tant que 

 et - sont commensurables ou que n et m sont des nombres entiers finis : 

 le cas de l'incommensurabilité, ou de met n simultanément infinis conduit à 

 distinguer un troisième genre de fonctions 'f^x; on aperçoit que, dans ce 

 cas, la qualité paire ou impaire du nombre n importe peu et que les deux 

 genres hyperbolique et elliptique doivent alors se confondre : en effet, les 

 développements (7) se réduisent alors à leurs premiers termes, lesquels 

 ne sont pas afiectés du double signe. Nous affecterons la lettre y aux fonc- 

 tions de ce nouveau genre, que nous nommerons genre parabolique. 



» Les développements (7) permettent de reconnaître immédiatement 

 quelques propriétés générales des fonctions (f^x. 



» Soit p. un indice autre que zéro; on aura évidemment 



d'f^x = ç!|j._i xclx ; 

 quant à l'indice zéro, il viendra 



d(p^x = ± (p„_,xdx, 



M On aura donc les relations suivantes entre les dérivées des divers 

 sinus : 



( d^'-- _ ^- „ ^ Genre i l^yP^'-^°l''l"«- 



SlhT - ^'" '' ' I elliptique. 



^■^ ' ] d<ù,.v da^.v difi-r d<s,„_,.T 



(ir-?o^, -t^?"^' ^-?^^' •■•' -;z^ = ?'"-^- 



» Les fonctions des deux genres hyperbolique et elliptique ont entre elles 



