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nombres des suites (i6) et, par n, et /?,„, les nombres extrêmes de ces séries, 



'/i .r cos — — 



m ?, ' ' m 7. 



(17) ma^^x ^ y e '"^coslxsin— [i 



» Si l'on fait, pour abréger, 



«, = cos — » fl, == sin — 1 

 a, = cos/j. — > o,= smu. — > 



la formule précédente donnera 



(19) m^^^x=^\ "e'^.'(n,cos/3,x + ft,sin/3,.r). 



» Nous devons faire remarquer que, s'il s'agissait seulement d'obtenir 

 l'expression de l'exponentielle 



V- 



re"' 



e 



sous la forme des m termes de l'expression (8), il ne serait pas nécessaire 

 de considérer, dans chaque ordre de sinus, les deux genres hyperbolique 

 et elliptique; lui seul de ces genres suffirait à la solution du problème. 

 En effet, les deux termes du rapport — étant par hypothèse irréductibles, 

 le genre hyperbolique ou elliptique serait fixé par la qualité paire ou im- 

 paire de l'entier n, et il suffirait, dans le cas de tn impair, de développer 

 les fonctions cp^^x relatives à l'un ou à l'autre des deux genres hyperbo- 

 lique et elliptique, puisque les formules (i i) permettent de passer de l'un 

 à l'autre genre, moyennant de simples changements de signes; quant au 

 cas de m pair, n étant impair, il ne serait nécessaire que de développer les 

 fonctions du genre elliptique. C'est ce dont nous allons nous occuper. 



» Avant de procéder à ces développements, nous devons opérer, sur les 

 formules (17) et (18), des réductions qui sont relatives à la nattu-e du 

 nombre »?, au point de vue de son imparité ou de son degré de parité. 

 Nous nous bornerons à donner les formules générales et nous y joindrons 

 les expressions de la somme l{(p^,x)'■' des carrés des m sinus de la va- 

 riable X. 



