( 1256 ) 



)) Lorsque les rayons de courbure d'une courbe gauche sont égaux entre eux, 

 les centres des sphères osculatrices et les centres de courbure de celte courbe 

 coïncident. 



» Reprenons la courbe quelconque (o) et menons à partir de o la 

 droite rectifiante ol. Désignons par / la distance du point o au point l où 

 cette droite touche l'arête de rebroussement de la surface rectifiante 

 de (o). En employant le cône directeur de (S(,), on voit que-^ = y>etalors 

 la relation (i) devient 



(2) SX l = oc >C qg. 



» Cette relation conduit facilement à ce théorème : 



» Lorsque la somme des carrés des rayons de courbure d'une courbe est 

 constante, le produit s >c l est proportionnel au cube du rayon de seconde 

 courbure de cette courbe. 



» La relation (2) peut s'écrire 



(3) s X l X p X cos'f = p- 



taDg'u 



» Le premier membre de cette relation est le volume d'un tétraèdre G 

 dont les sommets sont le point o, le centre de courbure n, le centre de la 

 sphère osculatrice correspondant et le point L Dans le second membre, 

 lorsqu'il s'agit de deux courbes (o) et (a) ayant les mêmes normales prin- 



cipales, est constant. On voit alors que : 



*^ ' tangw ^ 



u Si deux courbes ont les mêmes normales principales, les deux tétraèdres, tels 

 que G, relatifs soit à deux points de l'une de ces courbes, soit à un point de l'une 

 et à un point de l'autre, ont leurs volumes dans le rapport des carrés des rayions de 

 courbure correspondant à ces points. 



» La relation (3) établit une liaison entre des éléments d'une courbe gauche 

 et des éléments de la surface formée par les normales principales de cette 

 courbe. 



» On en déduit aussi ce théorème nouveau : 



» Lorsque la somme des carrés des courbures d'une courbe est constante, le 

 produit s X l est constant quel que soit le point de la courbe. 



» Etc., etc. 



» Dans ce qui précède, je n'ai considéré que la courbe lieu des centres 

 de courbure (o) ; en suivant une marche analogue, on arrive à des pro- 

 priétés relatives à la ligne de striction de (S,,) et à la courbe [a] de cette 

 surface. » 



