( 1258 ) 

 L'intégrale triple s'étend à tous les points situés dans l'intérieur de la 

 sphère S- h- vj- -f- Ç- = i . Elle peut se mettre sous la forme 



2 r r r d^dnc 



~W^'w J J J A 



id-Ç, 

 S/L^ - - ■ ■ ■ ■ ' 



A désignant la distance du point (^, 77, Ç) au plan H, dont l'équation 

 est 



LX -+- MY + NZ - P = o. 



» Il est facile de l'évaluer. Menons, en effet, deux plans inBniment voi- 

 sins parallèles au plan H; soient respectivement t et t -h dt les distances 

 de ces plans au centre O de l'ellipsoïde ; soit enfin D la distance du point 

 O au plan H. Les deux plans infiniment voisins découpent dans la sphère 

 une couche dont le volume est 7r(i — t-)dt; tous les points de cette couche 

 sont d'ailleurs à une distance du plan H égale à D — < ; la partie de l'inté- 

 grale triple relative à cette couche est donc égale à ^ ^-^^^ — ~ 



^ ^ _ ^ y/L' + M» + ]N-= o - ' 



et la valeur de l'intégrale triple elle-même est 



V/L' + M= -h 





Si l'on marque maintenant que P = D y'L^ -I- M + N-, en remplaçant L, 

 M, N et P par leurs valeurs, il viendra définitivement 



oabc 



~if:r 



dtdrf 



X -h fjcostp + izsiny — t \l [a' — b''] + (6' — c') sin'y 



L'intégration relative à t s'effectue immédiatement ; je conserverai néan- 

 moins la formule précédente sous cette forme. 



» On peut remarquer que le premier membre est, à un facteur constant 

 près, le rapport du potentiel à la masse de l'ellipsoïfle ; il est clair d'ail- 

 leurs que le second membre ne change pas quand on remplace l'ellipsoïde 

 considéré par un ellipsoïde homofocal. De là résulte immédiatement l'im- 

 portante proposition de Maclaurin : Les polentiels d'un même point relative- 

 ment à deux ellipsoïdes homojocaux sont proportionnels aux masses de ces ellip- 

 soïdes. 



« Si la surface est de révolution et si l'on a h ~ c, l'intégration relative 



