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MÉCANIQUE. — Equilibre d'élasticilé d'un sol isotrope sans pesanteur, suppor- 

 tant différents poids. Note de M. J. Bocssinesq, présentée par M. de Saint- 

 Venant. 



« Lamé et Clapeyron, dans leur célèbre Mémoire de 1828 {Savants étran- 

 gers, t. IV, p. 541), ont étudié l'équilibre d'élasticité d'un solide sans pe- 

 santeur, terminé supérieurement par une face horizontale que sollicitent 

 des pressions verticales, et indéfini dans les autres sens. Leur solution con- 

 siste à superposer une quadruple infinité d'intégrales simples, dont chaque 

 terme est le produit d'une constante arbitraire (que permet de déterminer 

 ultérieurement la formule de Fourier) par une exponentielle où paraît au 

 premier degré la coordonnée verticale z, par une fonction linéaire de z, 

 et par deux sinus ou cosinus affectés chacun, linéairement aussi, d'une des 

 coordonnées horizontales x, y. Ces expressions des petits déplacements 

 u,v,w étant trop complexes pour permettre de se représenter le phéno- 

 mène, je me propose ici, en recourant à des potentiels d'attraction, d'en 

 former de plus simples, où deux intégrations, sur quatre, se trouvent effec- 

 tuées. 



» Ayant pris la surface du corps pour plan Ae&xy et un axe desz dirigé en 

 bas, appelons ?, vj les deux coordonnées d'un point quelconque de cette sur- 

 face, r la distance de ce point à un point quelconque [x,y,z) du corps ; et 

 concevons, étalée sur le plan des xy, une couche fictive, limitée et infiniment 

 mince de matière, qui aurait par unité d'aire, enchaque point (^,73), une masse 

 donnée /(^,v)). Je poserai /(?,v5)c?^rfy3 = dm, et j'appellerai 9 la somme 

 f\og{z 4- r) dm étendue à toute la couche, qui ne recouvre qu'une partie 

 finie du plan des xy. On reconnaît aisément : i°que toutes les dérivées de 9 

 s'annulent pour r infini, c'est-à-dire aux points (a;, j, z) infiniment éloignés 

 de la couche, et qu'elles y sont comparables à la puissance négative de r 

 indiquée par leur ordre même; 2° que la dérivée ^^— \ —- est le potentiel 

 d'attraction relatif à cette couche; 3° que le paramètre différentiel Aj de la 

 fonction 9 et, par suite, ceux des dérivées de 9 en x,y,z, s'annulent dans 

 tout l'intérieur du corps élastique; 4° que, si $ désigne la fonction 9 ou 

 1 une de ses dérivées, on a -^ A2 1 — 1 = o. 



» Différentions, par rapport à x, y, z, cette dernière relation, après 

 l'avoir multipliée par i + A-, A" désignant le rapport des deux coefficients 

 d'élasticité X, p. du corps (notation ées Leçons de Lamé àe i852). Les deux 



