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 » Actuellement, remplaçons, dans (43), x par Ix^ et observons que a^ 

 devient alors, en vertu de (42), égal à ç^f/x); nous aurons 



(46) e'-" = (f„ {ix) + 9, {ix)z-i- (fi{ix)z^ -+■ Ç3 [ix)z^ + . . . + 9,„_, [ix)z'"-* . 



De ce développement et du précédent, on déduit finalement 



9o [ix) = Ao ± A,„ + A,^ ±A3m -f- . . . ( ± I )'-' A(,_„,„, 



ç, [ix] = A, ±: A„+, + Aj„,^., ± A3,„+, + . . . ( ± 1)'-' A(,-_,„„+, , 



0;(/jr^ = Aj di A,„^2 + A2„,+2 i Ajm+i 4- . . . ( ± I ) A(/_()m+2) 



9i{'x) = A3 d: A,„+3 -4- A2,„^.3 dr A3,„+3 + . . . (± 1)'-' A,,_, ,,„+,, 



(47) 



o,„_,(/a7) = A,„_, dt A2,„_, 4- A3„_, ± A„„_, + . . . (± i)'"' A,„,_,, 



relations où l'on prendra les signes supérieurs ou inférieurs, suivant qu'il 

 s'agira du genre hyperbolique ou elliptique, en y changeant les 9 en £ouf. 

 » Quant au genre parabolique, on aura, en vertu de (27) et (28), 



(48) o,{ix)=i, o^[ix)= \'Y „ • 



» Les sinus de l'ordre zéro et du premier ordre ont seuls une période 

 réelle ou imaginaire. Les sinus des ordres supérieurs ne sont pas des fonc- 

 tions périodiques : néanmoins, leurs maxima, zéros et niininia répondent 

 à des valeurs de la variable qui tendent vers l'équidifférence : ils accusent 

 ainsi l'existence d'une sorte de périodicité; la somme des carrés de ces 

 fonctions accuse, d'autre part, une variation progressive de leur valeur 

 moyenne. A cause de ce caractère mixte, l'auteur de la découverte des 

 nouveaux sinus les considère comme éminemment propres à la représen- 

 tation d'un grand nombre de phénomènes, tels que les mouvements des 

 corps célestes, etc. 



TANGENTES DES ORDRES SUPERIEURS. 



n Si l'on divise les m — i fonctions 9,x, 92^) • ■ •> fm-i-^ psi* 'fuX, on 

 obtient m — i fonctions nouvelles, analogues aux tangentes circulaires ou 

 hyperboliques : en les désignant par T,j.^(p. > o), on aura, par définition. 



(49) ^^''^''i^' 



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