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 efforcé de déterminer la forme générale de ces fonctions; nous pensons 

 y être parvenus et comptons publier tiltérieurement nos recherches. 

 L'objet de la présente Note est d'indiquer sommairement la méthode que 

 nous avons suivie et les résultats que nous avons obtenus. 



» Il y aura bientôt deux ans (' ) que nous avons fait connaître la forme 

 générale des coefficients des développements par rapport à la variable x, 

 soit des deux mêmes fonctions l{jc), p-{jc), soit des puissances de ces deux 

 fonctions. Si l'on part de ces développements par rapport à x, et qu'on 

 les ordonne par rapport aux puissances croissantes du module A , on 

 constate facilement que ces puissances du module sont alors respective- 

 ment multipliées par des séries entières en x, d'une nature spéciale, les- 

 quelles rentrent tout à fait, comme cas particuliers, dans les séries dont 

 nous avons récemment (") donné la somme sous forme finie, 



» La méthode que nous devions suivre nous était donc naturellement 

 indiquée : nous n'avions qu'à prendre les développements suivant les 

 puissances de la variables; à les ordonner suivant les puissances du mo- 

 dule k, en déterminant bien les séries entières qui multiplient ces puis- 

 sances; enfin à calculer, comme nous savions le faire, la somme de cha- 

 cune de ces séries. 



» C'est cette méthode que nous avons suivie. Les résultats qu'elle nous 

 a fournis, et que nous avons, par d'autres considérations, notablement 

 simplifiés, peuvent être résumés de la manière suivante : 



M Si l'on désigne par p un entier quelconque non négatif, et que l'on 

 pose 



),v+' (x) = C-P^ -h C'/^'A-^ + Of^k'' + Cfk' + . . . , 

 \"' [x) = D*'"4- Df'k^ 4- BTk' -+- Df A» + . . . , 

 ^.•-■"+1 (x) = Elf" -h Ef'k" + El'" k' + Ef ^« + . . . , 

 IX-'' (x) ^- Y'S' H- F;^' A= + F^'" k* + F^'" À" + . . . , 



les formes des coefficients O/', Dlf', E'„'", F^f' sont respectivement données 

 par les quatre égalités 



C',f' — IgjjX-' 6\n{'ij -+- i)x ■+- Ihijx"^'*^ cos(2y + i)x, 

 D^'" = Igijx^' COS2JX -h Ihijx^''^' sina/x, 



EiJ" =-- ^gij^'^' cos(2y + i) X + Ihijx^'^' sin(2/ -+- i)x, 

 Yf =■ Igijx^' COS2JX -t- Ihijx-'^^ iiin2jx, 



') Comptes /e«rf«î, séance du lo juillet i8j6. 

 ') Ihicl., séance du 22 avril 1878. 



