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 que la distance de la courbe au cercle est de la forme 



J-— la'' -{-moâ -\-na- ; 



il faut exprimer que cette distance s'écarte le moins possible de zéro quand 

 a. varie de zéro à a ; or l'identification avec le polynôme de Tchebychef 

 n'est pas possible, car c/? est en facteur ; il est donc nécessaire d'aborder le 

 problème directement. Pour cela, je résous la question suivante: 

 » Etant donné un polynôme de la forme 



J — X"^^ 4-/J, CC"^'—- -\- . . . + pn 



X^ 



dans lequel p,, ^2, . . .,/>„ sont des coefficients indéterminés et s une quantité 

 donnée qui peut d'ailleurs être nulle, trouver les valeurs de Pf,p2, . . ,/?„ 

 telles que le polynôme s'écarte le moins possible de zéro quand x varie de 

 zéro à h. Soit L la plus grande valeur absolue de ce polynôuie dans les 

 limites considérées; les valeurs x,, Xa, . . .,x^, auxquelles correspondent les 

 valeurs dr R, satisfont aux équations 



( I ) j" - L^ = o, 



(2) x{x-h)'-^ = o; 



et l'on sait (') que les équations 



l,X';^'--hl,.T'l^'-'+ ...-hKx\ =7,, 



Af X2 H" Aj .Tg + , . . + A;; J?2 = /'2> 



>,x;r'-^ + ).,a-;;-*-'-=+ . . . +>,„x;=j,, 



doivent être incompatibles, ce qui nécessite que le nombre (jl des solutions 

 communes aux équations (i) et (2) soit supérieur d'au moins une unité 

 au nombre des coefficients indéterminés. 



» Le nombre des maxima égaux k ± L doit donc être au moins de 7i -H i ; 

 mais CCS maxima correspondent à des racines de l'équation (2) qui peut 

 s'écrire 

 „, I Jc^x - k)[{n-hs)x" -h (n-hB— i)p,x"-' 



\ -h {?l + s ~ 2)p2X"~- -h ... -hepn]=0. 



» Si donc £ est différent de zéro, c'est-à-dire si x est en facteur dans 

 (') Voir la Tliéoiie de Tcliebychef [Calcul différentiel de M. J. Berlrand, p. 5i2). 



