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 aux racines réelles. En ayant égard aux équations (3) et (2), on obtiendra 

 toutes les valeurs de l'inconnue x. 



» Ce qui vient d'être ex|)Osé offre une solution complète de la question. 

 On doit faire remarquer que l'équation en p sera généralement d'un degré 

 supérieur à 2/72, à cause des facteurs étrangers introduits par les élimina- 

 tions. Il va sans dire que, avant d'effectuer les éliminations successives, il 

 conviendra de chasser les facteurs que l'on parviendrait à distinguer dans 

 chacune des équations à traiter. Néanmoins, il restera encore, dans 

 l'équation Hnale, un nombre de facteurs étrangers qui en élèveront inuti- 

 lement le degré. Aussi sera-t-il toujours préférable de déterminer, par les 

 moyens en usage, toulesles racines réelles, et de diviser l'équalioii proposée 

 par les facteurs que fournissent ces racines, de manière à n'avoir plus 

 affaire qu'à des racines imaginaires. En opérant ainsi, nous réduirons le 

 nombre des facteurs étrangers à la question, attendu que le nombre des 

 équations à résoudre, au lieu d'être, comme tout à l'heure, égal à /n -1- i, 

 se trouvera réduit à m! — 1 , ainsi qu'on va le voir, m' désignant le degré de 

 l'équation privée de racines réelles. 



» Second cas. — Supposons actuellement que l'équation à résoudre 

 soit privée des facteurs correspondants aux racines réelles, et soit m' le 

 nombre des racines imaginaires, nous aurons recours aux équations de la 

 forme (7), où les sinus des multiples de ne peuvent plus s'annuler simul- 

 tanément. 



" Remplaçant m par m' dans la formule (7), si nous attribuons à l'arbi- 

 traire i les valeurs r, 2, 3, . . . , m' — i , nous formerons m' — t équations 

 entre l'inconnue p et les quantités sin5, sinaô, . . . , sin (/«'— i)5; or, 

 comme ces équations ne contiennent pas de termes indépendants de ces 

 sinus, on peut substituera ces mêmes sinus les rapports 



sin 2 9 sin 3 9 s'm i ni' — il9 



sin 9 sinô sin 9 



en nombre m' — 2 : on n'aura donc qu'à éliminer ces rapports, qui n'en- 

 trent qu'au premier degré, pour obtenir l'équation finale en p, ou plutôt 

 en p-. 



» Si l'on effectue l'élimination comme dans le cas précédent, c'est- 

 à-dire en commençant par les termes qui contiennent les sinus des mul- 

 tiples les plus élevés de 6, on parviendra à deux équations de la forme 



sin2â , ^. 



