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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions qui naissent du développement 

 de l'expression [ i — lax -!- a^a^] " . Note de M. Escary. 



Il I. L'intégration entre les limites x et — ci, l + i fois répétée, des deux 

 membres de l'égalité 



[i — 20CX -h a^a^] "2 — \ -—-^ ^^ 





nuiltipliés préalablement par (2m 1 1 ) «f/a-, ?« indiquant l'ordre de l'inté- 

 gralion à effectuer, donne immédiatement 



2/-1-1 "— ' 



(i) [i — 2ax + a^a-] ^ =Sx^^a", 



n=zo 



en posant, pour abréger, et à partir du terme de rang 2/ 1- 3, 



» Sous cette forme, on voit que l'équation X,]^^ = o a toutes ses racines 



2 



réelles et égales à a en valeur absolue; et que généralement l'équation 

 X^,"^, = o a / - I racines égales à + a, / h- 1 égales à — a, et « — 2/— 3 



a 



réelles, inég;iles et comprises entre — « et 4- rt. 



» Le développemenl( I ) montre encore les coefficients des diverses puis- 

 sances de a qui, précédant le terme de rang 2/+ 3, ne se trouvent plus re- 

 présentés par des expressions différentielles. Dans l'hypothèse de 



71 >• 2 / + 3 , 



on trouve aisément que trois fonctions consécutives de ce développement, 

 dans lequel l reste constant, satisfont à la relation 



(2) nX,j+^ — (2« — 2/ — 3)xX^' + (« — 2/ — 3) rt'Xw+^ = o. 



Cette équation nous fait voir que la propriété curieuse de ces polynômes, 

 de remplir l'office des fonctions de Slurm, se perd en même temps que 

 celle d'être représentés par des expressions différentielles. 



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