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 expression à l'inspection de laquelle on aperçoit le théorème suivant: 

 » Dans le cas de l'exposant p. entier et positifs l'équation 



oii l'on av '2 u-, a toutes ses racines imaginaires conjuguées, sauf une racine nulle 

 dans le cas de v impair. 



» Le développement (5) conduit encore sans peine à la remarque de l'i- 

 dentité 



(6) a^P-t^-'^^tr'"; 



et de cette remarque, rapprochée du théorème précédent et de la A^ote 

 que nous avons publiée dans le présent Becueil, p. ii4, on conclut sur-le- 

 champ que le développement de la fonction ( i — 2a.x -t- a'-a-'f^ ordonné 

 suivant les puissances ascendantes de «, et dans lequel pi peut passer par 

 toutes les valeurs — oo jusqu'à 4- oo , donne naissance, au point de vue de 

 l'espèce des racines, à cinq catégories de polynômes : 



M La première catégorie, obtenue en attribuant à p. toutes les valeurs infé- 

 rieures d l'unité, se compose de poljnomes qui, égalés à zéro, ont toutes leurs 

 racines réelles et inégales. 



» La seconde catégorie se compose de polynômes dont le degré est inférieur 

 ou égala (x supposé positif. Toutes leurs racines sont imaginaires. 



» La troisième catégorie se compose de polynômes dont le degré est compris 

 entre p. et 2 p., p étajït supposé positif. Leurs racines sont en partie réelles et su- 

 périeures à a en valeur absolue, et en partie imaginaii-es. 



» La quatrième catégorie se compose de polynômes dont le degré est 2 1 -h- i, 

 tandis que p. est compris entre l etl + -■ Leurs racines sont réelles et supé- 

 rieures à a en valeur absolue. 



» La cinquième catégorie se compose de poljnômes dont le degré n'est pas 



inférieur à 21-+- 2, tandis que p. n'est pas supérieur ù-^ Leurs racines 



sont en partie réelles et égales à a en valeur absolue, et en partie réelles, iné' 

 gales et comprises entre — aet -r a. » 



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