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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les développements des fonctions Al (x), Al , (x), 

 Alj(a7), 5U(Ufln< les puissances croissantes du module; par M. D. André. 



« Les trois fonctions A1(.t), A],{x), Al2(x), dues, comme on lésait, 

 à M. Weierstrass, peuvent être développées en séries ordonnées, soit par 

 rapporj: aux puissances croissantes de la variable œ, soit par rapport aux 

 puissances croissantes du module k. J'ai fait connaître antérieurement (') 

 la forme générale des coefficients dans les développements de ces fonctions 

 par rapport à .r; je viens de déterminer la forme générale des coefficients 

 dans les développements par rapport à A' : la présente Note, relative à cette 

 dernière recherche, a pour objet d'en exposer brièvement la méthode et 

 les résultats. 



)) Pour la méthode, c'est celle qui m'a servi déjà à résoudre (^) le pro- 

 blème analogue sur les fonctions elliptiques X(x), lJ.{x). Prenant les dévelop- 

 pements des fonctions Al(x), Al,(.x'), Al2(x) suivant les puissances crois- 

 santes de jc, je les ordonne par rapport à A'; dans ces développements 

 ainsi ordonnés, les puissances successives de A sont multipliées par des 

 séries entières en x; ces séries, pouvant être sommées, me donnent une 

 première forme de coefficients cherchés; j'étudie cette première forme et 

 la simplifie beaucoup par des procédés divers, notamment par la considé- 

 ration des égalités 



Al,(.r) r^ Al(.r)X(x), A\,{x)^ \\{jc)ij.{x), 



qui relient les fonctions considérées aux fonctions elliptiques. 



» Les résultats obtenus peuvent être résumés de la manière suivante : 

 « Si l'on pose 



A[{x) = A„-i- A,A--f- A2A''-h AjA" j- . . . , 

 A1,(.t) = B„-!- B, /r H- B.,k- ;- BjA" ■+-,.., 

 Alo(.r ) = Co H- C, k- -+- Cj A'' -;- C3 A'' + . . , , 



et que l'on désigne par t un nombre entier quelconque supérieur à zéro, 

 par iei j des entiers non négatifs quelconques, par g^,,/et //, , des coefficients 

 indépendants de a: : 



(') Comptes rendus, séance du lo décembre 1877. 

 ') IbUl., séance du 27 mai 1878. 



