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ont étendu à la fois, comme on le sait, le champ des applications du calcul 

 à la Physique et celui de l'Analyse pure. Coordonner, sous ce double point 

 de vue, de nombreux et importants travaux, ceux de Dirichlet, de Jacobi, 

 de nos illustres confrères Lamé et M. Liouville, de M. F.-E. Neumann, com- 

 pléter la théorie sous un point de vue essentiel par l'introduction des fonc- 

 tions de seconde espèce, montrer enfin par quels liens étroits elle se rattache 

 aux fractions continues algébriques et à la série hypergéométrique de 

 Gauss, tel est en peu de mots l'objet d'un ouvrage auquel l'auteur a fait 

 concourir tous les travaux de sa vie scientifique. Un point entièrement nou- 

 veau me semble devoir être particulièrement signalé à l'attention : c'est 

 celui qui se rattache aux recherches de Lamé. Soient a,, a^, . . ., dp des 

 constantes, et ^(^a:) une fonction entière, composée de telle manière que 

 l'une des intégrales de l'équation différentielle 



(a) '£^+ f^{.T)r=--o, 



où l'on suppose 



du = — 5 



' j- x — a, [X — a,] ... .r — «u 



soit une fonction entière et du degré Ji de \Jx, y j? — a, , ..., \/.r — ap. 

 L'auteur appelle cette intégrale fonction de Lamé de première espèce, 

 de degré ?i et d'ordre p. Il démontre l'existence et trouve le nombre de 

 ces fonctions pour chaque ordre p (§ 135). Les intégrales de l'équation 

 différentielle, qui s'évanouissent pour des valeurs infinies de x, forment 

 les fonctions de seconde espèce. Pour p — 2, on a les fonctions ellipsoï- 

 dales E, introduites par Lamé lui-même; et, si l'on fait <t, = rtj, elles se 

 changent en fonctions sphériques de Legendre. Supposons ensuite que les 

 produits n\Jjc — fl,,/2y/x — n., soient finis pour n infini, on trouve 

 (p. 4'3) \es fonctions de cylindre elliptique; et, en faisant en outre a, = rtj, 

 on en conclut les Jonctions de cylindre de révolution. Ces dernières, intro- 

 duites par Fourier, en 1822, sont de première ou de seconde espèce et, 

 dans le premier cas, ont la forme 



"'^ ' "^ ;>..4 . . - '2V L 2 (211 + 2) 2.41 av H- 2) ('.v + 4) ' ' 'j 



