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 L'auteur les représente ainsi : 



K,{jc) = i^- ly I e'"'°>"' cosivudu = (- i)'' K,{- x), 



sous la condition que la partie réelle de /x soit négative; et, pour une 

 valeur réelle^ de x, il égale K.,{x) à la moyenne arithmétique, entre 

 K^{x 4- oi) et Kv(x — oi). 



» Pour toutes ces fonctions on a des théorèmes semblables : par 

 exemple, un théorème d'addition, comme celui de Laplace (voir p. 3i2, 

 333, 340, 3/,6, /|55, etc.). 



» Lamé a créé ses fonctions [Journal de 31. Liouville, t. IV, p. iSg) en 

 intégrant par des produits E(j2, ),E{fj2) l'équation 



et les fonctions de cylindre elliptique tirent leur origine de l'équation bien 

 connue 



f/'U rf'U , .„, , 2 • NTT 



h -7— + A-(cos-œ — co'^^ai)\] = o. 



diL' df' ^ ' , ' 



Pour qu'elle admette une intégrale particulière de la forme F(<p) F (m), il 

 faut poser 



(b) ^'^ + (l' cos-o - l) ¥(0) = o. 



» Mais la constante / n'est pas définie comme la constante B de Lamé, 

 par la condition que les fonctions F, du moins dans la première de leurs 

 quatre classes, soient entières. La condition est alors que chaque intégrale 

 de l'équation [b] soit une fonction périodique de <p, développable par la 

 formule de Fourier. Si l'on représente les fonctions F(y), par exemple, 

 dans la première de leurs quatre classes, par les séries Sa^ cos2vç), la condi- 

 tion nécessaire est que «^ s'évanouisse pour v infini, et l'auteur démontre 

 (p. 413) qu'elle suffit en même temps pour assurer la convergence de la 

 série. Or «,, est un polynôme entier en l, du degré v, et la condition 

 «„ = o donne une équation d'un degré infini. M. Heine tléniontre (§ lO'i) 

 que chaque racine, jusqu'à une grandeur quelconque, peut être comprise 

 entre des limites aussi rapprochées qu'on le veut, et parvient (p. 4o8) au 

 résultat suivant : 



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