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 la colonne dans laquelle le chiffre est situé. Ainsi, par exemple, il y aura 

 trois covariants irréductibles de l'ordre 6 et du degré G, 2 de l'ordre 8 et 

 du degré 6, et ainsi en général. Le nombre total de ces formes irréduc- 

 tibles est 69, le degré le plus élevé 18, l'ordre le plus élevé 12. La limite 

 supérieure donnée par la méthode expliquée dans ma dernière Communi- 

 cation (qui sort de la considération de la génératrice à une seule variable) 

 est 2(302) + 2 = 60G, qui est beaucoup trop grand.' Mais, en se servant 

 de la même méthode appliquée à la fonction génératrice à deux variables 

 dans sa forme canonique donnée ci-dessus, au lieu de la fonction généra- 

 trice à une seule variable, on obtiendra comme limite supérieure 



(•2 -7 ~ 7 — 2) -4- £ + V 



(7 étant la somme des coefficients positifs, r la somme des coefficients néga- 

 tifs dans le numérateur, e le nombre des liaisons algébriques entre les 

 primaires qui répondent aux indices des facteurs du dénominateur, et v le 

 nombre de ces facteurs. 

 » On aura donc 



<7 = 70, r = 70, V = 10, £ = V — 8 = 2, 



et la limite supérieure devient 80, qui n'est pas beaucoup plus grand que 

 le nombre 69 qu'on a trouvé. 



» De même, pour le cas d'une fonction du sixième degré, la limite supé- 

 rieure tirée de la fonction génératrice (dans sa forme canonique) à deux 

 variables sera (27 — xi) + e + v, où l'on trouvera 



7=29, 7=29, V = 7, c = v — 6 — r, 



et conséquemment la limite devient 35, le vrai nombre étant 27. 



» La limite inférieure est évidemment dans tous les cas le nombre donné 

 par la règle du tamisage : par conséquent, dans tous les exemples qu'on 

 a précédemment traités, cette limite coïncide avec le nombre actuel des 

 grundformen. On peut à peine douter que cette identité, qui est conforme 

 à la /o(f/e part j'mon/e, et soutenue par luie induction à peu près irrésis- 

 tible, ne soit d'application universelle, et il serait fort à désirer que 

 M. Gordan ou quelqu'un de ses élèves fit connaître, s'il ne l'a pas déjà fait, 

 le système des grundformen pour le quantic du huitième degré obtenu par sa 

 méthode, afin qu'on piàt le comparer avec celui qui se déduit de la mienne. 



» Pour éviter toute ambiguïté, je dois ajouter que la fonction généra- 



