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courbe dans une étendue donnée, il faut exprimer que l'ordre du rapprochement 

 est le plus élevé possible et que, en prenant pour origine le milieu de l'arc, la dis- 

 tance des deux combes est proportionnelle au polynôme de Tchebychef [ ' ), de 

 degré égal à cet ordre de rapprochement augmenté d'une unité. 



» Ce ihéorème étant établi, je l'applique au cas d'un cercle et d'une 

 courbe et je suis amené ainsi à chercher la relation qui existe entre le 

 nombre de sommets d'un arc de courbe et le degré de rapprochement qu'il 

 peut présenter avec lui cercle. 



» J'étudie, en particulier, le cas où l'arc de courbe présente deux som- 

 mets dans les limites considérées, ce cas étant celui qui se présente dans les 

 systèmes articulés, dans le régulateur parabolique, etc. 



» Les principaux résultats obtenus dans ce Mémoire sont les suivants : 



» 1° Pour qu'on puisse obtenir un cercle ayant avec un arc de courbe 

 un rapprochement du 72'*°"° ordre, il faut que l'arc considéré présente 

 n — 2 sommets dans les limites choisies. 



» 2° Cette condition n'est que nécessaire, mais elle devient suffisante si 

 l'équation qui donne les sommets est la dérivée troisième d'une équation 

 dont toutes les racines sont réelles et comprises dans les limites de l'arc. Il 

 existe alors une infinité de cercles ayant avec la courbe un ra|)prochement 

 du n'""' ordre. 



» 3° Parmi tous ces cercles, il en est un qui épouse le mieux la courbe : 

 c'est le cercle d'écarts minimum. Mais ces écarts minimum dépendent de 

 la position des n — 2 sommets, et il existe ime position de ces sommets 

 pour laquelle on obtient le maximum niaximorum de précision. 



» 4° Cette position relative des sommets sur l'arc de courbe est fournie 

 par celte condition que la distance du cercle soit exprimable par le poly- 

 nôme de Tchebychef du 72 -f- i'*"" degré. 



» 5° En particulier, dans le cas où l'on veut obtenir un rapprochement 

 du quatrième ordre, il faut que l'arc ait deux sommets dans les limi tes 

 données ; il y a alors pour chaque position des deux sommets un cercle de 



(') y aiipeWe polynô/ne de Tchebychef, de degré n, le polynôme obtenu par ce géomètre 



{x + y/.r' — I,')" + {x — y/x' - //')" 

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qui s'écarte le moins possible de zéro qu.ind x varie de — A à -4- /; ( voir Bertrand, Calcul 

 différentiel, p. Sig). 



