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 de re principc qu'elles ne peuvent jamais, en quelque nombre qu'on 

 les prenuc, scrvir fi completer les iuti^gralcs des equations aux dilf'e- 

 rences partielles. 11 n'en est pas de meme des fonclions arbilrairesj 

 riles produisent , en les diflerentiant , d'autrcs quantitds qu'on doit 

 trailer dans les Eliminations comme des iuconnues indc^pendautes des 

 louotions dontellessontdt'rive'csj et c'cstpourcelte raison que I'inlograle 

 qui conlient de semblables fonctious peut salisiairc au priucipe cii 

 question dans toute sa gen^ralite. 



Lorsqu'une fouction arbitraire est comprise sous le signe d'inte'gra- 

 tiou, clle peut s'y trouver de deux manieres essenticUenjent dislinctes: 

 il peut arriver que I'inte^grale ne conticnne pas d'autres variables que 

 la quantite renferm^e dans la Ibiiction arbitraire, et alors I'integraliou 

 dotme pour resubat une nouvelle I'onction de celte meme quautile ; ou 

 bien I'integrale renicrme, bors de la function arbitraire, une seconde 

 variable qui doit etre trailee comme constante dans I'integration , ce 

 que M. Ampere api)elie avec raison une integration partielle. 11 divise 

 les integrales des equations aux dillcrences partielles en deux classes : 

 la premiere, dont il s'occupe prcsque exclusivement, comprend toules 

 les integrales qui ne rentcrment pas les Ibnctions arbitraires sous des 

 signes d'intcgralious parliellcs; la seconde se compose de toules celles 

 qui contieunent des integrales partielles , lesquelles peuvent 6lre 

 d'ailleurs des integrales indc'finies ou des inti^grales defiuies prises 

 par rapport a une variable qui u'eutre pas dans I'equaliou diflereutielle 

 donnee. 



Ces deux classes d'int(^grales sc distinguent I'une de I'autre en ce 

 que, relalivement a celles de la premiere classe, le nombre de nou- 

 velles arbitraires qui paraissent a cbaque ordre de dilFdreutiation ne 



Feut jamais surpasser celui des fonclions arbilraires dislinctes que 

 integrate conlient, ce qui n'a pas lieu par rapport aux integrales de 

 la seconde classe. D'apres cette propri(?td, et en s'appuyant toujours 

 sur le principe ci-dessus dnoncE, M. Ampere d^montre qu'une inte- 

 {irale de premiere classe, pour etre g(^nerale et sous iorme linic, doit 

 contenir un nombre de fonctions arbilraires dislinctes dgal a celui qui 

 marque I'ordre de I't^uation aux differences partielles a laquelle elle 

 correspond. Onad^ja remarque qu'au-dela dii premier ordre il exisle 

 des equations dont les inttfgrales gduErales renferment un moindre 

 nombre de Ibnctions arbitraires; il faut done, en vertu de ce nouveaa 

 theoreme, que ces integrales n'appartienucnt pas a la premiere classe, 

 et en etiet celles qii'ou a IrouvEes jusqu'ici sont exprimces en series 

 ou sous forme d'integrales dcfinies(i). 



(i) Journal de I'Ecole Poljrtechni(jue , treiiicme caliicr , page 109, el quinzieme 

 cabier , page 242, 



