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L'exccs du nombre des racines positives sur cclui dos rnciues iie'ga- 1 8 1 4. 



tives de I'^qiiation Z = o est t^gal an meme exces, par rapport ii la scconde 

 Equation auxiliairc, dimimie ou aiigmenld d'une unil(5, selon que le 

 prodiiit des coefHciens des deux deruiers- tennes du pol3nomc Z est 

 line quantile positive on negative. 



CoHcevons d'apres cela que Ton forme une Iroisieme Equation auxi- 

 liaire qui se ddduise de la seconde, commc celle-ci se d^duit de Z==o; 

 puis uue quatrieme qui se deduise de la troisieme, aussi de la nierae 

 maniere, et ainsi de suite, jusqu'a ce qu'eiifin 011 soil parvenu a une 

 Equation du premier degre, ce qui formera un nombre u — i d'equa- 

 tions, puisque la premiere Z=o est du degrd // -— i , et que le degrd 

 s'abaisse d'une unite en passant d'une auxiliaire a la suivante. 8up- 

 posons que, dans cbacunc de ces 77 — 1 equations, on I'asse le produit 

 ties coefficiens des deux deruiers termes; il resulte de la regie qu'oa 

 vient d'enoncer , que la difference cntre les nombres de racines positives 

 et de racines negatives de la premiere auxiliaire Z = o,sera ^gale au 

 nombre des produits de celte espece qui seront negatiis , moins le 

 nombre deceux qui seront positifs; done aussi, d'apres la relation qui 

 existe entre cette auxiliaire et la proposeeX = o, le nombre des racines 

 r^elles de celles-ci,diminu6 d'une unite, sera egal a cette meme diife- 

 rence entre les nombres des produits de signes ditferens. 



Ainsi, par les signes de 77 — i ionctions rationelles des coefficiens de 

 ]a proposee, on pourra juger du nombre de ses racines reelles. Pour 

 qu'elles le soicnt toutes, il laudra que toules ces Ionctions soient nega- 

 tives: et pour qu'elles soient toutes imaginaires, il suHira que le nom- 

 bre des positives surpasse d'une uuil6 celui des negatives. Si, par 

 exemple, la proposee est du sixieme degre, il y aura pour la realitc 

 de toutes ses racines cinq conditions deterniinees j mais, au contraire, 

 pour qu'aucune dc ses racines ne soit rcelle, il i'audra cpie trois sur 

 cinq quantiles soient n(?gatives, condition qui pent fitre remplie de dix 

 nianieres diflerentes. 



La regie que M. Cauchy a donn^e pour determiner la difference entre 

 les nombres de racines positives et de racines negatives de la premiere 

 auxiliaire , peut egalement s'appliquer k la proposee elle-meme ; et 

 comrae celle-ci est du degrd 77, il en resulte qu'en I'ormant un nombre n 

 de fonctions de ses coefficiens, on pourra, d'apres leurs signes, 

 determiner la difference entre les nombres de ses racines reelles de I'une 

 et de I'autre espcces; on en connait d^ja la somme au moycn des 77-F-i 

 fonctions pr^cedentes; done, au moyen de 277 — i fonctions rationnelles 

 des coefficiens de la proposee form^es suivant des lois ddtermindes, 

 on pourra connaitre le nombre et I'espece de ses racines reelles , ce 

 qui est la solution g^nerale du probleme que M. Cauchy s'est propose 

 de resoudre. 



