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 ronfrair.es , et correspontlantes a toutes les racines reelles ou imagiuaires 

 dp /'.r = o. Cette equation niixilinire s'obtiendia par les relics de I'^li- 

 iiiinatioii , et eile sera da ineme dcgre quey x:=o, c'est-:i-clire da de- 

 gre 77 — 1 , si I'on siqipose qae u marque Ic degre de la proposcey .r = o. 

 Or les valeurs dej.ij'f x , qui repondent a des racines imagiuaires de 

 ^' x=io. pourront (juelquelbis efre reelles; mais alors ce pr()daity.2:y"x 

 aura necessairement des racines ^gales. 8i done on suppose d'abord que 

 I'equation auxiliaire n'a pas de racines egales, il sera certain que ie 

 nombre de ses racines posilives moins Ie nombre de ses racines nega- 

 tives sera egalacelui des racines reelles de la proposde diminuc d'uiie 

 unite. Ainsi la determination de ce dernier nombre, pour une e([ua- 

 tion du degre ri , se trouve ramenee a <'elle de la ditt'crence eutre les 

 iiombres de racines positives et de racines negatives pour une autre 

 ec|uation du degre n — i. Voici comment M. Cauchy resout ce second 

 probleme. 



Soit ; I'inconnue de I'equation auxiliaire, et Z = o cette (Equation , de 

 maniere que Z dcsigne un pol^ynomc en zdu degre /? — i , M. Caucliy 

 forme une secoude equation auxiliaire dont les racines sont les valeurs 

 du produit ZZ" multipliees par celles de z et prises avec des signcs 

 contraires, c'est-a-dire les valeurs de la fbnction — rZZ", qui rdpoudent 

 aux racines de Z' = o;Z'etZ", designant k I'ordinaire les deux pre- 

 mieres fonctions de'rivees de Z. Cette seconde equation auxiliaire s'ob- 

 tiendra, comme la premiere, par les regies de I'cliniination , et elle sera 

 du meme degre qiie Z' ^o, ou du degre /? — 2. 8i I'on suppose qu'elle 

 n'a pas de racines egales, elle jouira d'une propritH6 qui consiste en ce 

 que la diHerence entre Ie nombre de ses racines positives et celui de 

 ses racines negatives, etant augmentce ou diminuee d'une unite, don- 

 nera la meme diilerence reiativcment aux racines positives et negatives 

 de I'equation Z:=o. Cette difference, pour la premiere auxiliaire, se 

 conclura done de celle qui a lieu pour la seconde, et il suflira de savoir 

 si Ton doit augmenter ou diminuer celle-ci d'une unite. Or cela de- 

 pendra uniquemeut des sigues des derniers termes dans les equations 

 Z=:oetZ'=zo; car si ellcs ont loutcs deux un nombre pair ou toutes 

 deux un nombre impair de racines positives, auqucl cas leurs derniers 

 lernjes scront de meme signe, il I'audra iliminucr il'unc luiite la diile- 

 rence relative a la seconde auxiliaire pour en conclure celle qui se 

 rapporle a la premiere ; et, au contraire, il I'audra I'augmenter d'une 

 unite, lorsque i'une de ces Equations Z=o et Z'=o aura un nombre 

 lair et I'autre un nombre impair de racines posilives, c'est-a-dire 

 orsque Icurs derniers termes seront de signes ditf'drcns. En observant 

 done (jue Ie dernier terme du polvnome Z' est de meme signe que 

 i'avaiit- dernier du polynome Z,M. Cauchy dnonce cette regie gc- 

 ucrale : 



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