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minima. 11 a ^galemeut lieu par rapport a la lolalite de la courbe, et 1 o 4. 



lorsque Ton considere s^parement la partic qui rcpoud soil aux ab- 

 scisses positives soit aux negatives. Eu eflet il est aise de voir, par ua 

 raisonnemcnt seniblable au precedent, que, dans Tuuc cles deux parties, 

 I'exces du nombre des ordonnees maxima sur celui des ordonnees mi- 

 nima est {?gal au nombre des intersections, et que, dans I'autre partie, 

 il est egal a ce nombre diminud d'une iniild. Mais pour savoir de quel 

 cote cette Unite doit etre retrancb^e, on observera que les intersections 

 repondant aux racines reelles de I'^quation^.r = o, il suffit de savoir 

 si le nombre des racines negatives est pair ou impair, ce qui se decide, 

 comme on salt, par le sigue du dernier terme. 



I,es plus grandes et les plus petites ordonnees de la courbe que nous 

 considerons r^pondcnt aux abscisses d^lerminees par la diff'^rentielle 

 premiere de I'equatiouy j.==o, c'est-a-dire, en employant la notation 

 de M.Lagrange, par I'equaliony' x = o. Si done on la sait resoudre, 

 on connaitra le nombre total des ordonnees maxima ei minima , et il ne 

 s'agira plus fjue de distinguer les unes des autres. Or, aux sonnnets des 

 ordonnees maxima positives ou negatives, la courbe tourne sa conca- 

 vity vers I'axe des abscisses 5 elle est au contraire convexe vers cet axe 

 aux sommets des ordonnees minima. Relativement aux premieres, les 

 deux quanlitesy .z ety" x sunt des signes contraircs, et leur ])roduit est 

 negatif; par rapport aux secondes, ces quantil^s sont de meme signe, et 

 leur produit est positil'. Done, en substituant toutes les i-acines reelles 

 de I'equalion /'.i=o dnns la tbncliony x xy".r, on connaitra par 

 les signes de cette quantile combien la courbe a d'ordonndes de cliacjue 

 espece, soit dans la partie des abscisses positives, soit dans la partie 

 negative; d'oii i'on conclura, d'apres les principes pr6cedens,le nombre 

 et les signes des racines reelles de I'ecjuationy x = o. 



Cette solution du probleme suppose, comme on voit, la resolution de 

 r^quationy x=- o d'un degr^ inlerieur d'une unit^ a celui de la pro- 

 -posde. tile est due a l)egua,qui I'a exposee,avec tous les developpe- 

 mens n^cessaires, dans le Mdmoire cit6 plus haut. On y trouve aussi 

 les regies qu'il a donnees pour reconnaitre , sans resoudre aucune 

 equation, si la proposee a toutes ses racines reelles, ou bien si elles 

 sont eu partie reelles et en partie imaginaires. Mais ce g^ometre eroyait 

 impossible de fixer le nombre des racines imaginaires quand il en 

 existe, a moins de resoudre une equation du degrd imm^diatement 

 infcrieur a celui de la proposee. 



Tel est le point on Dugua a laissd la question, et oil M. Cauchj Fa 

 reprise dans les Memoires dont nous rendons compte. 



Au lieu de rc^soudre lequationy' .r = o , formons-en une autre dont 

 ies racines soicnt les valeurs du produit /^y" x prises avec des signea. 



