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qui lournit le nioyen d'assigner une quautite moindre que la plus 

 ■jetite de ccs diflf^rences. et, par suite, de df^tprmiiier Don-sculement 

 e nombrc des raciiies rcellos, mais aussi des jimiles eiitre Icsquelles 

 chaciine des racines est comprise; mais relativeinoiit aux equations 

 litterales, la question consiste a trouver des i'on< tioiis rationeiies de 

 leurs coefficiens, dont les signes d^terminent dans ehaque cas particu- 

 lier ie uombre et I'espcce de leurs racines reelles : or ce netait jusqu'a 

 present que pour les Equations des cinq premiers degr^s qu'on etait 

 parvenu a former de semblables louotions, et M. Cauchy s'est propose 

 de complt'ter cette partie de ralgel)re,en donnanf une methode appli- 

 cable aux Equations litterales de tous les degree. Cede mefhode est 

 I'ondee sur la consideration des courbes paraboliques, dont Stirling et 

 Degua avaient de'ja fait usage pour le mfime objet : ou doit la regarder 

 comma uue extension de celle que Degua a donnee dans le volume 

 de I'Academie des Sciences pour I'annee ly,,! , et comnie une ajjplica- 

 lion dps principes poses par ce geometre. 



Pour en donner une idee, supposons que I'c^quafion propos^e soil 

 representee par/j:=o; faisons / x egale a une nouvelle ind^termin^e 

 r; r^i|ualionj=/.r appartiendra a uue courbe parabolique, c'est-a- 

 dire a une courbe composee d'uue seule brauche qui setend iudctini- 

 ment dans le sens des abscisses positives et dans celui des abscisses 

 negatives. Les intersections do cette courbe avec laxe des abscisses 

 repoudront aux racines reelles de I'efjiialion proposee; or rinspec- 

 tion setde de la courbe suffit pour nioutrer que le nombre de ces 

 intersections surpassera au plus d'une unite le nombre des ordon- 

 iiees maxima tant positives que negatives. Lurs(ju'il n'y aura qu'im seul 

 niaxhniim entre deux intersections consecutives, le nombre des inter- 

 sections sera prccisement egal a celui des mariina augmenfe d'une 

 unite; mais si la courbe eprouve plusicurs sinuosifes entre une inter- 

 section et celle qui la suit immediatemcnt, rordoiinee parlant de zero, 

 passera par plusicurs maxima et minima successifs avant de redevenir 

 nulle, et il est facile de voir que le nombre de ces maxima surpassera 

 toujours d'une unite celui des minima, d'oii il rcsulte que le nombre 

 total des intersections diminuc d'une unite est toujours cgal au nombre 

 total des ordonnees maxima , moins le nombre des ordounees mini- 

 ma ( 1 ). 



Ce principe n'est pas modifie par les portions extremes de la courbe 

 qui se prolongent indctiniment au dessus et au dessous de I'axe des 

 abscisses, et dont chacune contient un nombre c^gal de maxima et de 



. ( !■) Dans tout ceci , le maximum el le minimum se rapporlcnt aux grandeurs ctcs 

 M'^yun^es > abstraclion faite de leurs signes. 



