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 remplace ; r'est-a-dire que Ton pourra se douner a volontd deux 

 (^qiialious entre les nouvelles variables et les aucicnnes. Dans cctle 

 •juostifjn, comme dans beaucoup d'aulres oil Ton fait varier los cons- 

 fantes d'une inle^ralo, on reconnait sans peine que pour doiiner k la 

 fransfurmee lalormc la phis sim[)le, il laut prendre ccsdeux equations 

 de niaiiiere que Irs deux diHerenrcs premieres ne cliangent pns par la 

 varialion des constaules. On Irouve, alors, pour celte transl'ormde, 

 line Equation lindaire par rapport aux dillerences seeondes, de nieme 

 I'orme que la proposde , et qui coutient, en general, les trois ditld- 

 reiices seeondes de la variable principale. C'est a cette espece de trans- 

 f'onnation que sc rapporte ceile que M.Legendrca donnec pour in- 

 tcgrer, ou du moins pour reudre tout-a-lait lint^aire I'equaLion dc Voire 

 xiiinimi/m, et d'autres semblables, telle que I'ecjuation qui comprend 

 la propagation du son dans une ligne d'air, lorsquc les oseillations 

 c!u fluide ne sout pas regardees comme infiniment petites. 



Blaiutenaut si I'integrate particuliere d'ou Ton part, n'est pas prise 

 au liazard, mais qu'eile provienne d'une integrale premiere contenant 

 dejk une constaule arbitraire, que Ton a ensuite integree avec deux 

 autres coustantes, cette circouslance donne lieu a une reduction de 

 la transformde. En cffet on prouve aiscmcnt qu'alors, une des trois 

 tiillerences seeondes disparait dans cette equation , ce qui peut ddja 

 la reudi'e plus iaeile a traiter. De plus si les cocfficiens des seeondes 

 difierences dans I'equatiou proposce, sent les trois tcrmes d'un carrd, 

 on prouve aussi que deux termes disparaissent a la Ibis dans la trans- 

 Ibrmee, et qu'eile est rdduite a ne plus contenir que la dilierence se- 

 <-onde relative a Tune des deux variables independaules, ce qui est 

 la I'orme la plus simple a laquelle elle puisse etrc ramende. On peut re- 

 inarquer a cette occasion, que, d'apres la theorie connuc (i), une 

 pareille Equation ne comporte qu'une seule fbnelion arbitraire dans son 

 intcgrale complete : il en sera done de meme de loute e(|uation li- 

 iieairc par rapport aux difl'erences du second ordre, dans laquelle les 

 coefficiens de ces ditfcrences ont entre eux la relation des trois ter- 

 mes d'un carre; proposition (pi'on jiouvail bien supposer, mais que 

 personne avaut M. Ampere n'avait coni|)letcmeiit demonlree. 



linfin si I'cMi est d'abord parvenu a trouver deux intt^grales pre- 

 mieres de I'equalion proposec, renfermant chacune une constante ar- 

 bitraire, et qu'cn les emplojant simultanemeni , on ait obleiiu I'in- 

 legrale avec trois conslantcs qui est la base de toute cetle analyse; 

 il arrive alors que I'dquation transformee perd deux de ses termes, 



(j) Joariial Je I'Ecole Poljteclinique , Ireiiienie cahier , page 107. 



