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 Memoire sur les integrales definies ; par M. Cauchy. 



lis 1 4. 



I,A consideration des integrales doubles est un moyen que les MixnfMATiQurs. 



gdomefres ont souveut employ^, soit pour trouver les valeurs des 



iiit(5grales definies, soit pour /les comparer entre elles. M. Laplace Insiiiui. ^ 



sen est d'abord servi dans sop M^raoire sur les fonctions de grands aaaoiitiSi'i. 

 nombres; M. Legendre, dans la premiere partie de ses Exercices de 

 Calcul integral; et j'ai eu aussi plusieurs fois I'oceasion d'en iaire usage. 

 C'est sur cette consideration qu'est fondee la premiere parlie du Me- 

 moire de M. Cauchy. II prend une Ibnction de y, que je designerai par 

 Y; il y met, a la place dej, une autre fouction de deux variables x et z; 

 et il observe qu'on a ideuliquement : 



d z d X 



d'on il rdsulte, en multipliant par dxdz, et preuant ensuile I'intdgrale 

 double, 



/-r:--=/-.^ 



^-.dz. 



Ces intdgrales sont indcfinies; mais si Ton suppose que I'inl^grale re- 

 lative k X est prise depuis a: = a jusqu'a a^ = a', et I'integrale relative 

 h. z, depuis zz=:b jusqu a z = h' ; que de plus on fasse 



r^quaticj pr^cddente deviendra, en passant aux integrales defininics, 

 /fix, h') dx - ff{x, h) dx= /F («', z) dz- fF (a, z)dz. (.) 

 Elle etablit, comrac on voit, une relation entre quatre integrales de- 

 finies diHerentes, qui pent servira leur determination; mais M. Gaucliy 

 montre,en outre, comment on pent la partager en plusieurs autres equa- 

 tions , ce qui donne le moyen d'en tirer un plus grand avanfage. D'abord 

 il suppose que la Ibnction prise pourj)', soil de la KQx:\xiGyz=.iii-\-n\^ — i ; 

 I'equalion f 1) conlient alors une partie r^elle et une partie imaginaire; 

 ' elle se subdivlse done en deux autres , que I'auteur decompose de 

 nouveau, par un mo3en que nous ne pouvons pas indiqucr ici. Comnie 

 on pcul prendre pour Y telle fonclioii de y qu'on veut, et y substituer 

 ensuite,a la place de j,une infinite d'expressions diflerenteSjil semble 

 que Tcquation (i) et celles qui s'en deduiscnt dcvraienl determiner 



