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uiritornie, u'est pas csseutiellement distinct de ceux qu'an d cmployds 

 juscju'iti. 



Voici un des resuUats les plus g^n^raux qii'il obtient. Soil V une 

 fonctioii do .t; suppossons qu'en v substiti;ant (a + b \/ — i )x h. la 

 place de cctte variable, elle devleniie P + Q\/ — i ; siipposoos aussi 

 que les produits P .r° et Q.r" soient nuls, pour les valeurs .i- = o et 

 a: = '-;en prcuaut les iategrales autre cos limites, et en laibaut, pour 

 abr^ger, 



r = y a' + 1/% a = r cos. 9, b = r siu. 9, 



M. Caucbj trouve qu'ou a, en general, 



fq X "-' dx = ii^. Tv x"-' d X. 



On obtient immecliatenient ces formules par la simple observatiou 

 qu'en subsliluant ( (i + Z<v/— i )x a la place do jt, les lirailes de I'iu- 

 t(5grale restcnt les raenies;de sorte qu'on a 



Cy X ""' dx = (a+bv/--iy. J^'(P + Qv/-0^^'~' dx; 



rnetfant pour a et b leurs valeurs, et partagcant celte equation en deux 

 autres on trouve les fornudcs citees ; mais par la maniere dont 

 M. Ca'icbv V parvieut, on voit que ces formules sont sujeltes a des 

 conditions relatives aux valours extremes dePx" et Q x', et a quci- 

 ques autres exceptions; ce qui prouvc que I'emploi du I'acteur ima- 

 ginaire a + Z) »/ — i n'est pas loujours lc'<i;itimp. 



Dans la seconde partle de son Memoire, M. Caucliy observe que 

 I'c^quation COcst quelquefois en deraut,et que cela arrive qiiand les 

 fonctions comprises sous le signe/ devieunent 7 pour des valeurs 

 de JT et de £ comprises entre les iimites de I'inlegration. En cOct, on 

 sait qu'une fomlion de deux variables qui sc presenlc sous cetle forme 

 est r^ellement ind(^tcrminee; elle est susceplihlo d'unc inbnile de va- 

 leurs dilFtTcntes, et elle en prcud deux, (|ui ne sont pas les memos , 

 lorsqu'on y substitue dans deux ordrcs dillerens les valeurs parli- 

 cuiieres des variables qui la roodcnt ^ J^i done on a uue inlt^gralo 



