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ff (^{x, z')d .rd z, et que* {x, z) passe par ^in(l(?(ermIn^po^lrc^^svalellrs 1 o 1 4. 



x = (« ct r = f , comprises cntre les limilcs de I'iutegratiun , il arrivera 

 que I't^lc^ment ♦(«, C)dx dz,'q\n\c\iv correspond, aura deux valeurs 

 diilereutes, selon qu'on y I'era cl'abord a = a et eusuile r= f, ou selon 

 que I'ou commencera par z^zC; douc I'iiitegrale double, qui est la 

 sommc de tous les (^leiueus , n'aura pas non plus la merae valeur, 

 selon que Ton coinmencera rinlc^gration par rapport a I'une ou a 

 I'autre variable ; douc aussi les deux nicmbres de i'equalion(r)poiirront 

 quelquel'ois u'ctre |)as egaux, pui.squ'ils rcprdseuteut les resuUals d'laie 

 int<^gration double, faite dans deux ordres ditli^rens. 



A celle remarque de M. Caucby, on doit ajouter qu'au moins I'une 

 des deux valeurs de 4, (^x,z), correspondantes a .T=aet zz=€, doit 

 Stre infinie ; car si elles elaieut toutcs deux finies, on pourrail ncgliger 

 I'el^roent *( a, C)dx d z, sans que I'integralej^/"* {x , z) d x d z enTut 

 alleree; et alors sa A'aleur serait encore la meme, quoiqu'on eiil efiectud 

 rintegratioii dans deux ordres dili'drens. 



M. Cauciiy, aprcs avoir indique les cas ou I'equation ( i ) devient 

 faufive, determine la quantity A, qu'il I'aut alors ajouter a I'un deses deux 

 inenibrcs pour relablir I'egalitc. II I'ait voir qu'elle est exprimee par 

 line ou plusieurs int^grales simples, d'unc espcce particulierc, et qu'il 

 nomme integrales singuUercs. Ce sout des int^grales prises dans un 

 intervalle intinimeut petit , et cfl'ectuces sur ime I'onctioii coritenaut 

 elle-meme une quanlite infiniment petite, qu'on ne doit supprimcr 

 qu'apros rinti'gralion. Ces integrales ne se presentcnt pas ici pour la 

 premiere. fois ; an en rcnc(jiitre r.ne semblable dans le problenie d'un 

 <;orps pesant sur une courbe donn^e, lorsque le mobile approehe d'uu 

 point ou la taiigeute est horizoutale: s'il en est a une dislance iufini- 

 ment petite, et que sa vilesse soit nuile, le temps qu'il emploie pour 

 Tatteiuch-e tout-k-l'ait, a une valeur finie qui est determiuee par un6 

 int^grale de I'espcce dont nous parlous. Le propre de ces integrales 

 est d'etre independanles de la forme de la fonction soumise a I'inle- 

 gration; ainsi, dans I'exemple que nous cilons, la valeur du frmps ne 

 depend pas de I'equation do la courbe, mais seulement de la longueur 

 du rayon do courbure au poiut que Ton considere ; et c'est uue cir- 

 constance semblable qui permet a M. Caucby de donuer sous une 

 Ibrine tres-simple la valeur geuerale de la quantite A. 



Ce que le Memoire dout nous reudons eomple contient, scion nous 

 de plus curieux, c'est i'usage que I'aulenr fait des iulc'grales qu'il 

 noiume singtiUcres , pour expriraer d'auti'cs inlegralcs prises enlre des 

 limiles linies. 11 parvient ainsi a plusicurs resuilats dej'i counus, Cette 

 maniere indirecte de les obtenir ne doit pas etre preferee aux me- 

 tbodes ordinaires, mais elle n'en est pas moins Ires-rensarquable et 

 digue de i'attenlion des geometres. II obtient par cc luoyeu les valeurs 



