( 35 ) _ ^ — ^^^" 



or, I'analogie de cette formulo avec celle qui sert a changer les variables 1 l 5. 



dans les integraies doubles, esl maiiilbsto, de sorte quo si i'on veut subs- 

 tituer les variables p el q aux variables x etj, on aura 



/fU(rt - s') d.v dj =ffU dp dq; 

 d'ou M. Eodrigue conclul que I'integrale proposee est une fonction de 

 p clq, independante de lY-quation de la surlace, et depeudante uuique- 

 ment des limites de I'integration. ]1 vc5rifie ce resullat eu monlrant que. 

 la variation de celle inl^grale nc rent'erme que des termes relatil's a ces 

 iiinites ; il montre aussi (ju'il exisfe dans tous les ordrcs de differences 

 partielles, des Ibrmules qui jouissenl d'une semblable propri^te. 

 II considere ensuite specialement I'integrale 



'{r i — s') dv dy 



r 



dans laquelle la quantite sous le signe^, reprdsente I'elcrmpnt de la 

 surface divise par Ic produit des deux rayons de courbure priucipaux. 

 D'apres ce qu'on vicnt de dire, eile est la raeme chose que 



dp dq 



h 



Si Ton y change les variables p Gi q , en d'autres X et F, lonctions des 

 premieres , elle devieudra 



et si Ton prend 



— X 

 P 



V 

 on aura eufin 



/■ 



yi — A'^ — I'- ; 



formule qui reprdsente I'aire d'une portion de sphere dont le rayon est 

 egal h I'unile. 



Pom' determiner cette portion de sphere qui rcpond a une portion 

 donnce de la suriace que Ton considere, M. Rodriguc donne cette cons- 

 truction ; « Concevez une s[)hL're d'un rayon egal a I'lniite; I'ailes niou- 

 « voir son ra yon , ensorte qu'il soil successivenient parallMe a toutes 

 « les norinales de la portion (le surface que vous consiilerez ; I'aire sphe- 

 « rique dccrite par I'extrcmite de ce rayon sera la valeur de I'inte'- 

 « gralc. » 



S'il s'agit d'une portion quelconque de surface de'veloppable, le rayon 

 mobile ne ddcriraqu'une simple courl)e, et I'iiitegrale sera nulle ; ce qui 

 est d'ailleurs evident, puisqu'on a alors ;■/ — a^ — o. Dans le cas d'une 

 surface fermee et convcxe dans toute sonetendue, telle qu'uneljipsoidc, 

 on aura 



JJ 



'(r / — i») dx dy 



= 4 -*; 



