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 a la question prefsente, je sujipose que la valeur iuftiale de z' soLf 



qu'il s'agit de faire coVucider avcc Fa valeur donnde par I'equation (5). 

 Or, en comparant eelle-ci a ['equation (Gy, il est evident qu'on les 

 rencira identiques en prenaut 



i = — a a., C 



g 



a k 



da dot. 



(a k — ah\ 



e -\- e ) 



et changeant la signe 2 en une integrate double relative a a et «, 

 prise entre les limites qu'on vient d'assigner. De cette maniere, 



et 

 la 



valeur gencralc de cp, donnee par I'equation (4), prend la forme: 



#[ 



a{h- 



■=) + ^.(>-s: 



]• 



, sin. ct 



COS. {ax — acL). ■ .J a. da da.; 



ah , — ali 



e + e 



ou Ton a suppi-im^ I'e.xposant infiniment petit a k, par rapport aux 

 exposans rt (/z — ~) et a (z — h'). 



Cette formula renferrae la solution complete du probleme, car on en 

 d^duit, par de simples differentiations par rapport a x, z et t, les vitesses 

 horizontalo et verticale du fluide en uu point queiconque, k pression 

 que ce point eprouve, et I'ordonnee z de la surface ; quantites qui seront 

 toutes exprimees sous forme fiuie, par des integrates deflnies doubles. 

 Lorsque I'ou considirc les deux dimensions horizonlales du tluide , 

 on trouve , par une analyse toute semblable a celle que je viens 

 d'exposer, une valeur de <p exprimde par une integrale definie qua- 

 druple. 



Si Ton suppose la profondcnr A tres- petite, ct qu'on nf^glige ses 

 puissances superieurcs a la premiere, la valeur ci-dessus de c se v€- 

 duira a c=^gha, au moyen de quoi les inl^grales detinics disparaisscnt 

 dans I'expression de tp ct des quantites qui s'en deduisent. J'ai fait 

 voir en eflet dans mon M^moire, et il est facile de vdrilier, que la 

 valeur de z devient alors 



x' = ^^ =T {f(x + ty/gh)+f{x-tx^gh)y 



Integrant par rapport a t, puis diil'erentiant par rapport a .r, on a en 

 meme temps 



^" '' ""' Q<ix + tVsh)-J\~r-ty'gh)). 



dx 



d t d X 2 1/ A 



Ces valeurs de I'ordonnee z' 

 reViennent, pour le cas que nou 



et de la vilcsse horizoiitale 



dt 



cousiddrous , a la solution que 



