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 dans laquelle il faudra aussi suhstilurr la valour de p, et qui sera, eu 

 x,y, zvX q, I'equalion atixiliuire (lout uous venous cie parler. 



l.'inlf'f;rale de cette equation (5) dcpcud de trois equations diff^- 

 rcniielles ordinaires que nous n'aurons pas besoin decrire ; nous 

 re])resenlerons leurs Integrales completes par 



a=J,{jc,y, z,q), b=JA^,y,z,q), c=J\{x,y,z,q); (4) 



a,b,c etant les constantes arbitraires : I'lntei^rale ^eucrale de I equa- 

 tion (3) sera 



a=u{b,c); (5) 

 n designant une fonrtion arbitraire. 



Supposons I'une des equations (4J, la premiere, par exemple,re'solue 

 par rapport a </; soil 



q^-\,{x,y, z,a) (G) 



la valeur qu'on en lire; substituons-la dans les deux autres Equations, 

 ce qui donne lies resultats de eelte Ibrme: 



'b=-^,(x,y, z,a), c = -i^, (x,y , z , a); 

 substituons ensnite ees valeurs de Z< et c dans I'cqualiou (5), nous aurons 

 a = n (^^,{x,y,z, a), ■\,,(x,y, z,a)^; (7) 



et nous pouvons dire mainlenant que la valeur la plus gj^ne'ralo de.7 



3ui salislasse a I'equalion (5), el qui ait, par consequent , la proprieti^ 

 e rendre integrable Tequaliun (2), est exprimee par I'equatiou f6j , en 

 y cousiilcrant a comrne une quantity doniice par I equation (7}. 



Cela posd, la valeur de a seia, ou une quaiiliie variable dependante 

 de la forme qu'on donnera a la i'onction O, ou une constante arbi - 

 traire quand on prendra pour eelte tonction une semblable constante. 

 Supposons d'abord que le second cas ait lieu ; concevons qu'on ait 

 integre I'ecpiation (2 , apres y avoir substilue, a la place Ae p ei q , 

 leurs valeurs lirees des equations (i) et (6;, et desijjnous son inte- 

 grale par 



FC J",J, z, (?)== ^'r (8) 

 k ^tant la constante arbitraire. Si Ton vent prt^senlement avoir I'inte- 

 grale de la meme equation 'aljdans rhvpotliese de j variable, il est 

 Evident qu'on pent encore supposer qu'elle soit reprdseutee par \'&- 

 quation (8), pourvu qu'on y reganle k comme une nouvelle variable, 

 et qu'on determine convenablement sa valeur, c'est-a-dire, de maniere 

 que la diH'ereulielle de I'equalion fS resle la meme quand a et k 

 sont cou'^luites, et lorsqne a Qi k sout devenucs variables. Il laudra 

 done qu'on ait 



= dli; C<j) 



da 



d"- 



