Demonstration generale dii theoreme de Fenuat stir les nnmhre3 

 polygones; par A. L. Cauchy, Ingenieurdes ponts cl cliaussees. 



ItiTH/MATioris. 1-E tlieoreme dont il s'agit consisfe en ce que tout nombre entier 



pent etre forme par ratldiliou cic trois Iriangulaires, cle quatre quarr(^s, 



Instiiut. de cinq penfagoues, de six liexagones, et ainsi de suite. Les deux 



Kovembre i8i5. premieres parlies de re (luM)reiiie , savoir, que t(juf nouibre enlier est 

 la Somme de trois Iriaiigulaires et de qualre cpiarres, sotit les seules 

 qui aiout ete demontrees jusqua present ; aiiisi qu'on peut le voir 

 clans la Tlieorie des nombres de M. Legendre, et dans I'ouvrage de 

 M. Gauss, qui a pour litre Disqiiisiiiojies arithrneticrp. J'etablis dans 

 le IVldmoire que j'ai dounc^ a re sujet la demonstration de toutes les 

 autrcs; et je lais voir en outre que la deconiposition d'un nombre 

 eulier en einq peiitagones, six hexagones, sept beptagones, etc., peut 

 toujoiu's etre elFecluee de maniere que les divers nombres polvgones 

 eu question, a I'exception de quatre, soieul egaux a zero ou a riinlle. 

 On peut done dnoucer en general le tbe'oreme suivant : 



Tout nombre en tier est egal a la somme de quatre pentagones , ou 

 a une semUable somme augmentce d'l/ne unite; a la somme de quatre 

 hexagoiies , ou d une semblablc somme augmentee d'une ou de deux 

 unites ; a la somme de quatre heptagones , ou a une semblable somme 

 augmentee d'une, de deux oit de trois unites , et ainsi de suite. 



l.a demonstration de ee ihuureme est i'ondde sur la solution du 

 problerae suivant: 



Decomposer un nomhre enlier donne en quatre quarrcs dont les 

 racines /assent une soimne donnee. 



Je reduis ce dernier proMcme a la decomposition d'un nombre 

 eulier douuc en trois (juarrc's , en f'aisant voir (pie,si uu nombre eutier 

 est deconqiosable en quatre quarres dont les ra. iues I'assent une 

 somme donnee , le quadruple de ce nombre est decomposable eii 

 trois quarres dont I'uu a pour racine la somme dont il s'agit. II est 

 ais(5 d'en conclure que le probleme propose ue peut etre resolu que 

 dans le cas ou le quarre de la somme donnee est ini'erieur au qua- 

 druple de rentier que I'on consiti: re, et oil la ditfijrcnce de ces deux 

 nombres est decomposable en trois quarresj ce qui a lieu exclusive- 

 lueut, lorsque cctle dillerencc , divisee par la plus haute puissance 

 de 4 n^^ ^y trouve conteuue, n'cst pas uu nombre impair dont la 

 division par 8 donne 7 pour reste. Siaux detix conditions precedentes 

 on ajoute celle que le nombre entier el la somme douuee soieut de 

 meme cspcce, c'e,.t-a-dire, tons d.nix pairs ou tons deux impairs; on 

 aura trois conditions qui devront etre remjdies pour qu'on puisse 

 resouJre le probleme dont il s'agit. ]\]ais on ne doit pas en condure 

 que la solution suit possible toutes les luis qu'on pourra satislaire a 

 tes memes couditious. Pour qu'ou soil assured d'ubtenir uue solution. 



