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aiiii>!e 1782, patje 11); ct pour reunir sous un nn'me point de vue cc 

 (|u'ou a trouve dc plus gcueral jusqu'a prcsenl sur les iiilegrales definies , 

 nous commencerons par nous occuper dc cellcs qui renfermem des 

 expoucnlielles. 



Considcrons I'iulegraie / e"'^ . cc^~' .dr , prise depuis a; = o jusqu'a 



j:^ — i e elant la base des logarillimes hyperboliques , n et /; des 

 nombres enliers et positifs. Nous les snpposons posilifs , pour que la 



n 



fonction e~^ . a ''"' ne devienue jamais iufinie dans les limites de 

 I'inlograie , et enliers, parce que s'ils etaient f'raciionnairci , on pourrait 

 (aire disparaitre leurs denominaleurs par une transformation trcs-simplc. 

 Comme nous avons pour xjbjet de comparer entre elles les valeurs de 

 celte transcendame qui repondent a un meme cxposani n et a diflerentes 

 valeurs de p , nous la regardcrons comme une fonctiou dc p , et nous 

 la designerous par t^p , de sorle que nous aurons 



f 



. ocf ' . dx = <pp 

 En integrant par parlies , li vient 



e-^ .a.P-\djc=—.e-^ .a.P-\ /e-^ . cc^ ■*■"-' .dx ; 



I _ " 



aux deux limites or = o et ^ = — 5 le terme e ^ 



o 



ii done , en passant aux integrales definies , 



on 



<fP=' — ■ <?(;' + «)> 



equation qui moutre que la valcur de $ (/;•+•«) se deduit immedia- 

 tement de celle de <f/7 j d'oii Ton peut conclure que si I'exposant /> sur- 

 passe n , on pourra le ramener successivement a p — n , p — 2n , 

 p — 5h , etc. , jusqu'a ;; — in , i etant le plus grand multiple de n qui 

 soil compris dans p. Ainsi , il sera inutile de considerer des valeurs de 

 p plus graudes que n , et le nonibre des transcendantes reellement dis- 

 ilnctes , comprises dans <^p et resultant de toutes les valeurs qu'on peut 

 donner a /;, est simplenieat egal a n. Quand on suppose pzz^n, on a 



P 



n 



