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liers de premiere espece. C'est eu gcneralisant les principes renfermes 

 dans le menioire de M. Poinsol , que IM. Cauchy est purvenu a faire 

 deriver les polycdres reguliers d'espece superieure de ceux de premiere 

 espece, ce qui I'a conduit d'une maniere simple et analylique a la solu- 

 tion de la question qu'il s'elait proposee. 



H commence pnr prouver que dans im ordre quelconque on ne peat 

 construire des polyedres reguliors d'espece superieure , qu'aulant qu'ils 

 resullenl du prolongemenl des aretes on des faces des poljedres re£;u- 

 liers du meme ordre et de premiere espece , qui Icur servent de noyau , 

 el que dans cliaque ordre les faces des polycdres d'espece superieure 

 doivent avoir le nieme nombre de cotes que celles des polyedres de 

 premiere espece. 



II suit de la que conime il n'y a que cinq ordres de polyedres re- 

 guliers de premiere espece , on ne doit chercher que dans ces cinq 

 ordres des polycdres reguliers d'espece superieure ; en sortc que tous 

 les polvedres reguliers , de quelque espece qu'ils soient , doivent etre 

 des leiraedres , des hexaedres , des octaedrcs , des dodecaedres , des 

 icosaedres. 



Apris avoir donne la solution principale , M. Cauchy examine com- 

 bien thaque ordre renferme d'especes diffcrentcs ; et il conclut de ses 

 reclierches qu'on ne pent former de polyiidres reguliers d'espece supe- 

 rieure que les quatre decrits par M. Poinsot. 



Dans la seconde partie de son memoire , M. Cauchy generalise un 

 tlieoremc d'Euler relalif a I'equaliou qui exisle enlre les diflercus ele- 

 mens qui composent la surface d'un polyedrc. 



Eulcr avail demontre que le nombre des sommets ajoule a celui des 

 faces surpassait de deux unites le nombre des aretes. 



M. Caucby a ctcndu ce ibeoremc de la maniere suivante : 

 Si on decompose un polycdre en lam d'aulres que Ton voudra , en 

 prcnant, a volonte , dans I'iuterieur de nouveaux sommets, la somme 

 faiie du nombre des sommets et de celui des faces sui-passera d'une 

 nioitic la somme faiie du nombie des aretes et de celui des polycdres. 

 Le theordme d'Euler n'est qu'un cas particulier de celui-ci , dans 

 lequel on suppose qu'on iic cousidere qu'un seul polyedre. 



iM. Cauriiy , en decomposaifi le polyedre , deduit de son llieoreme 

 general un second tlieoreme relalif a la geometrie plane. Si on prend 

 une des face* du polycdre pour base , et si on transporte sur cette face 

 lous les autres sommets sans changer leur nombre , on obtient une 

 figure plane composee de plusieurs polygones renfermes dans un con- 

 tour doiine. Dans ce cas , la somme fiiite du nombre des polygones 

 ct de celui des sommets surpasse d'une unite le nombre des droites 

 qui formeiit les coles de ces polygones. M. Cauchy parvient directe- 

 meni a ce resultat eu cgalant a zero ; dans sou ihcoreme general , la 



