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qu'il avoit tlonnee clans les Memoires de i'Academie de 1779, il observe 

 que dans le tas oii 



fi^ = 4 ^ » 



la meme mediode d 'integratiou ne peut plus elrc employee , mais 

 qu'alors on peut ramener rinlei^ration de requation proposee a la 



sont prises pour les deux variables ind^pendanles , ct oii 11 est une 

 fonclioii dout depend la valeur de :;. Cette equation 



d'u du 



ds- dx' 



est remarquable en ce que son integrale completle ne contient qu'une 

 seule fonclion arbilrairc, ainsi que I'a retonnu el demonlre M. Poisson , 

 dans le i3« cahier du Journal de I'Ecole Poljtechniquc. II avoit montre 

 que I'iniegrale , qu'on ne peut obtenii- sous fornie finie , etoit sus- 

 ceptible de deux developpemens , I'un suivaut les puissances de cc' , 

 avec uue seule fonclion arbitraire , I'autrc suiyant celle de s , avec 

 deux foiictions arbiiraires qui sc reduisoient a une srule. M. de Laplace 

 donne rinu'giiition de la nieme equation a I'aide d'uue integrale de- 

 finie , el Tail voir que dans Tintegrale en serie qui couticnl en appa- 

 rence deux ("onciions arbiiraires , les lermes oii entre I'une d'elles sont 

 donues par ceux de la fonclion arbitraire de I'integrale definie oil il 

 n'y a que des puissances paires de la quantite dont elle esi formee , 

 et les lermes oil enlre I'aulre par ceux de la meme fonclion 011 il n'y 

 a que des puissances impaires de la meme quantite , en -sorte qu'eu 

 reunissant ces deux sortes de lermes , on ne fait que reunir tous ceux 

 d'une fonclion arbitruire unique. 



Le iroisiiMiie nriicle a pour objet le passage rcciproque des resuliats 

 reels aux. rcaullals imaginaires. L'auteur , apres quelques considerations 



generales , en deduit des valeurs remarquables pour les integrales de 



fdi' r.ns-. J? /^ d.r sin. x 

 la forme I — > I ;; , prises enlre diyerses limites , 



