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poIvi'(l''e, comme formint pnr leur reunion Ics nnijjU'S solidos , on irou- 

 ver:i que cliaciin des angles solides, en vertu tiu iheurcnie 6, doit I'ouinir 

 au moins quatre angles plans, donl chacuii soil corapris entre deux arelcs, 

 sur lesquelles les incliiiaisuns varient en sens conlraire. La surface toiale dn 

 polycdre devra dotic fournir uii iionibrc d'aufjles plans de cettc espece aa 

 moins egal a 4'^. Reste a savoir si cela est possible. 



Or, si i'on cousidere les angles plans comma coniposant les faces du 

 polycdre, on Irouvcra que les faces triangulaires, c«nlonani loujonrs 

 au moins deux areles, sur lesquelles les varialioys dinclinaison sor.t 

 de meme signe, fourniront au plus chacune deux angles plans qui saiis- 

 ferout a la condition donnee. Les quadrilateres pourront fournir chacun 

 quaire de ces angles plans; niais les penlagones , se trouvanl dans le nicmc 

 cas fjue les triangles, n'en fourniront chucun que quaire au plus, comme 

 les quadiilateres. En continuant de nieme, on ferait voir que les liexagoncs 

 et les hcplagoues ne pourront fournir chacun plus de six angles plans de 

 cetie especc; que les octogones et les ennoagones n'en pourront fournir 

 chacun plus de huil, et aitisi de suite. II suit de la que toutes les faces du 

 polyedre reunics ue pourront fournir en^rmhle plus de ces angles plans, 

 qu'il n'y a d'uuiies dans la sonime faite dctrois fois le nombre des triangles, 

 de quatre fois celui des quadrilateres , de quatre fais celui des peiitagoucs , 

 de six fois celui des hexagones , etc.... , ou dans 



2a -\- /^b -\- ^c -{• 6d -i- 6c •i' , eic 



Mais, si Ton compare ccresultat ala valeur de 4 (-^ — f^), trouvee plus 

 liaat, il sera facile de voir que la somme donl il s'agil ici est plus peiiie 

 que4(.^ — //), ou 4 (5 — 2), ou encore i^{S — 8). II est done impossible 

 que le polycdre total fournisse un nombre au moins egal a i^S d'angles qui 

 satisfassenl a la condition donnee. On ne peut done changer a-la-fois les 

 incliuaisons sur toutes les areles. 



Si Ton suppose en second lieu que, sans changer les faces du polyedre, 

 on puisse faire varier les inclinaisous sur les difterentes aretes , a lexceplioa 

 des incliuaisons sur les aretes comprises enlre plusieurs faces adjacenlcs 

 et renfermees dans un certain contour j alors , pour raniencr la question 

 au cas precedent, il suffira d'observer que le theorenie d'Euler subsis- 

 tera encore , si Ton considi-re toutes les faces dont il s'agit comme n'en 

 formanl qu'une seule; et par consequent de faire abstraction dans les 

 caiculs precedens des areles sur lesquelles les incliuqisons ne varient 

 pas, et des sommets oil cllcs se reunissent. 



On prouverait de meme que Ton ne peut considerer le polyedre comme 

 compose de plusieurs parties , donl les unes seraieni invariables et les autres 

 variables. 



Cetle demonstration est copiee litteralement dans le memoire donl ie 

 rends comptc , et que I'auieur a bien voulu me coufier. P, 



