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 cedens, on trouvera toujoiirs dans le polygene an nioins quati-e cotes , dont 

 chacun sera adjacent a deux angles, qui varieroiit en sens conlraire. 



Un angle solide quclconque , pouvant etre represente pur le polygene 

 spherique que Ton oblienl en coupant cetle angle solide par une sphere 

 decrile de son sonimel comme centre avec un rayon arbiiraire, on voit 

 qu'il sufTil de subslituer dans les theoremes precedeus les noms dangles 

 solides , d'angles plans et d'inclinaisons sur les areies , a ceux de poly- 

 gon's splieri(]ues »lc cotes el d'angles , pour obteiiir aulant de ilieoremes 

 sur les angles solides. Le dernier peul s'enoncer de la nianiere suivaiiie. 



6°. Si, dans un angle solide dont les angles plans sonl iuvariables, on 

 fait varier les inclinaisons sur les difTerenlos areies, on trouvera toujours 

 au moins quatre angles plans, dont chacun sera compris enlre deux 

 aretes sur lesquelles les inclinaisons varieront en sens conlraire. 



A I'aide de ce dernier theoreme et de celui d'Euler, M. Cauchy de^ 

 montre comme il suit la proposition d'Euclide, qu'il enonce ainsi ; 



Dans un polyedre convexe, dont loules les faces sont iuvariables, les 

 angles compris enlre les faces, ou, ce qui revient au meme , les inclinai- 

 sons sur les difl'erenles aretes sont aussi invariables; en sorle qu'avec les 

 memes faces on ne pent consiruire qu'un second polyedre convexe syme- 

 trique du premier. a 



Demonstration. En effet, supposons, contre I'enoncc ci-dessus, que Ton 

 puisse faire varier les inclinaisons des faces adjacentes sans dciruire le 

 polyedre J et, pour simplificr encore la question, supposons d'abord que 

 I'on puisse faire varier loutes les inclinaisons a-la-fois , les inclinaisons sur 

 certaines aretes varieront en plus , les inclinaisons sur d"aulres areies varie- 

 ront en moins; et, parmi les angles plans qui composent les faces et les 

 angles solides du polyedre, il s'en trouvera necessairement plusieurs qui 

 seront compris chacun enlre deux areies, sur lesquelles les inclinaisons 

 varieront en sens conlraire. C'est le nombre de ces angles plans qu'il s'agit 

 de determiner. 



Soient 6' le nombre des angles solides du polyedre, 

 H le nombre de ses faces , 

 ^ le nombre de ses aretes. 



On aura , par le theoreme d'Euler , S-i-H=^-i- 2, ou^ — H:= 



S—2. 



Solent de plus , ale nombre des triangles, b le nombre des quadrila- 

 teres , c celui des peniagones , d celui des hexagoncs , c celui des hepta- 

 gones, elc...., qui composent la surface du polyedre. On aura 



H = a-\-b+c + d-\~ e +, etc. 

 2 J = ja-^ 4b + 5c + 6(1+- 'je -\-, etc. 

 et par suite , 4 (J — H) — 2a -\- ^b + 6c + Sd -\- loe -\- , etc. . . . 

 Cela pose , si Ton consldere les angles plans compris dans la surface du 



