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de dinmclrcs conjnques represcnteront en direclion lous les sysl^mes 

 de langeiilcs coiijuguees. 



M. Dupin nomrae cctte courbe l' indica trice , parce qu'en efiet. it 

 prouve qii'elle indique par sa nature le sens des deux courbures prin- 

 cipales de la surface, en cliacun de ses points. 



III. Les deux axes de I'iadicatrice ou les tangentes coiijuguees res- 

 taiigulaires , sonl langeutes aux lignes de plas grande et de moindre 

 coui'I)ui'e. 



IV. Pour un meme point d'une surface donnee , le rayon de cour- 

 bure de cliaque section normale est proportionnel au quarre du dia- 

 metre de I'indicatrice qui se liouve dans le plan de cctte section ; d'oii 

 il suit que selon que I'indicalrlce est une ellipse ou une hyperbole, la 

 soinnie ou la difference des rayons de courbure des sections qui re- 

 pondcnl a deux langentes conjuguees, est une quanlile constante, egale 

 a la somme ou a la difference des deux rayons principaux. L'un de 

 ces deux rayons devient infiui , ct la couibure disparait dans un sens, 

 lorsque I'indicatriSe .^^ cliange en une parabole ; ce qui arrive , par 

 exeniple , en lous les points des surfaces developpables. 



Dans le second ct troisicme niemoires , M. Dupin applique I'analyse 

 aux questions qu'il a iraitees dans le premier, et par ce moyeu il 

 developpe et complete les demonstrations de plusieurs des proposi- 

 tions prccedenies. 11 forme I'equation de I'indicatrice pour un point 

 quclcon(jue d'une surface donnee ; quand ceite courbe est une el- 

 lipse, les deux courbures de la surface au point que Ton consideve 

 sonl tourneos dans le meme sens ; elles soul lournees en sens opposes 

 lorsque I'indicatrice est une byperbole. De ceite maniere , I'exanien des 

 diverses inflexions que la surface peut eprouver par rapport au sens 

 de ses courbures , se Irouvc rameue a la discussion fort simple des 

 courbes du second degre. 



Dans le cas de I'indicatrice hyperbolique , Tangle des asymptotes fait 

 connaitre le rapport des deux- courbures principales. 11 est droit ct 

 I'indicatrice est une hyperbole eqnilaiere, en tous les points de la surface 

 doni I'aire est un minimum enlre des limites donnees; car on sail que 

 ceite surface jouit de la propriele d'avoir en chacun de ses points ses 

 deux rayons de courbure principaux, egaux et diriges en sens contraires. 

 On sail aussi que si une surface du second degre pent etre eugendrce par 

 une ligne droitc, elle est susceptible d'une scconde generation scm- 

 blable , et qu'il y a toujours deux generatrices qui se croisenl en chaque 

 point. Or, M. Dupin prouve que ces deux droiles sonl les deux asymp- 

 totes de rindicalricc ; d'oii il concliit que sur un hyperboloide a une 

 nappe , et sur un paraboloide hyperbolique , les directions de la plus 

 grande el de la moindre courbure en un point quelcouque partagcnt- 



