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Solution dun prohleme de Geometrie; par M. Olivier, elere 

 de tEcole Poly technique. 



Sor ?iiii.oMAT. M. Hachette a communique a la Societe philoniatique , une solulion 



svnihetique de cc prohleme : Trois circonferences quelconcjues de grands 

 ou pctiis cerc/es , etant trac'''cs sur la surface d'une sphere, Iroiwer 

 une quittrienie circonference tang.''nte aitx trois premieres? Ce prohleme, 

 tloiit Ai. Carnot a douue iiiic soluiiua aiialyiiqne diias sa Geometrie 

 »ie posiiion , pas;. 4'5» avail ele piopose aux cleves de I'Etole poly- 

 lecnique : M. Olivier I'a resolu, en menant , par un point donne , un 

 plan tangent a un cone oblique a base circulciire. Les trois cercles 

 etaiit douiies , M. Olivier fait passer p ir ces cercles prii deux a deux, 

 trois cones obliques {voyez Supplement de la Goomeirie de^cripiive , par 

 M. HacliL'tte , pag. 55 ) , el il ne considere d'abord que les troi> cones 

 dont les soramels sont au-dela des plans des cercles. II reraarque que 

 le plan tanfjent a deux de ces cones , est necessairemjut tangent au 

 troisicnie , ci qu'il coupe la sphere suivant nn quatrieme cercle laix'eut 

 aux irois cercles donaes. Ajant done determine le premier cone , et 

 le sommcl du second, on mcne par ce sommet deux plans tanjjens 

 an premier cone, et chacun de ces plans coniient un des cercles cher- 

 ches ; ces deux plans se coupent suivant une droiic qui coulienl les 

 sommels des trois cones. 



Les sommeis des cones obliques qui joignent trois cercles d'une sphere 

 deux a deux , sont disiribues sur quaire droiies, situees dans un nieme 

 plan. Par chacune do ces droiies , on peut mener deux plans tangens 

 a I'un quelconque des trois cones qui onl leurs sommels sur ceite droite - 

 d'ou ii suit que trois cercles d'une sphere peuvent, en general, eire 

 touches par un quatrieme cercle de cetle sphere , de huit manieres 

 diO'eientcs. 



Etanl donnees trois courbes planes d'une surface du second degre , 

 on determine, par des considerations seaibiables , la quatrieme courbe 

 plane qui les louche. En effet , il est evident que lorsque deux surfaces 

 du second degre se coupent , la courbe d'iniersection est , en general , 

 composee de deux branches , ct si Tunc de ces branches est plane, I'autre 

 tranche lest ni'-cessairemoiit. D'oii il suit que par deux courbes planes 

 quelconques d'une surface du second degie , on peul loujours mener 

 une surface coaique da sucoiid degre. Ayant determine les sommcts 

 des cones qui passeul par les trois courbes planes donnees , on acheve 

 la solution corame pour les spheres , en menant des plans taugeus it 

 ces cdi:(:s. HG. 



