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 ime courbe sous le meme angle , il est visible que ces deux ligucs se 

 couperont au-dedans de la courbe et que leur point d'intersection va- 

 liera de position suivant Tangle que les droiles formeront avec cette 

 courbe. Le lieu de tous ces points d'intersection est un cerclc conslruit 

 sur le rayon osculateur conime diametre. 



Ce cercle qui a le rayon de courbure pour diametre , jouil de cette 

 propricte remarquable , qu'en le conpant par une droite parallcle k 

 la tangente on determine deux points qui sont les foyers d'une ellipse , 

 laquelle a au sommet de son petit axe un contact du second ordre 

 avec la courbe. Parmi toutes ces ellipses qui sont en nombrc infini , se 

 trouve le cercle osculateur ; c'est le cas ou la droite secante touche le 

 cercla des foyers au lieu de le couper. 



Les courbes planes ont , outre des dcveloppoides planes , des deve- 

 loppoidcs a double courbure , et les courbes iracees sur des surfaces 

 n'ont que des developpoides , conime elles a double courbure. Dans I'un 

 et I'autre cas , les developpoides a double courbure sont en nonibre 

 inllni du second ordre. Les developpoides de meme espece , c'est-a- 

 dire , celles dont les tangentes rencontrent la irajectoire sous un meme 

 angle , sont toutes sur une meme surface courbe dont voici la ge- 

 neration. 



Que Ton imagine en un point quelconque de la Irajectoire plane ou 

 a double courbure, un cone droit , circulaire , dont le sommet , soit 

 place sur le point de la trajecloire et dont I'axe soit la tangente de 

 cette courbe ; que Ton se represente ce cone conservant une ouverture 

 constanle et se mouvant le long de la irajectoire , de maniere que 

 son sommet reste constamment sur la courbe, et que son axe soit per- 

 petuellement tangent a cette courbe ; la surface qui enveloppera I'espace 

 parcouru par ce cone , sera le lieu geometrique de toutes les develop- 

 poides de meme espece. 



Cette surface sera rencontree quelque part en un point par la ira- 

 jectoire; si, par ce point de rencontre, on tend sur la surface un nombre 

 infini de fils , de maniere qu'ils y soient en equilibre , ils seront tous 

 les developpoides de meme espece , de la Irajectoire proposee ; car on 

 demontre que les developpoides sont sur la surface qui les embrasse 

 toutes , des courbes de plus courte distance entre deux points donnes. 



Lorsque la trajecloire est plane , les equations des developpoides 

 sont sous forme iniegrale , ou du moins leur integration ne depend 

 que de celle d'une cxponentielle. Mais lorsque la trajecloire est a double 

 courbure , il n'y a qu'une des Equations des developpoides qui soit en 

 ternies finis , et nous presentons I'autre sous la forme difi'erentielle. Les 

 di verses formules que nous donnons a ce sujet, renferment une certaine 

 constantc arbitraire qui exprime I'aiigle que I'apoiheme du cone gene- 

 ratciu" de la surface des developpoides , fait avec son axe, c'est-a-dire, 



