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 M A T H ^ M A T I Q U E S. 



Memoire sur les Developpoi'des des courbes phnies , et des 

 courbes a double courbure ,• par Michel-Ange Lancret. (i) 



Institut Nat. Ce Memoire a pour objet de nouvelles considerations sur les courbes 



DtcFMBRE 1807. 6Q general. Jusqu'u present les priucipaies proprietes geuerales des 

 courbes planes et a double courbure out ete I'ournies par la conside- 

 ration des lignes et des plans qui loudieut les courbes, ou qui les 

 cuupent perpendiculairement. Dans ce Memoire on considere des lignes 

 et des plans qui rencontrent obliqucment les courbes , et Ton en deduit 

 des proprietes beaucoup plus generates que toutes celles connues 

 jusqu'a ce jour et danS lesquelles celles-ci rentrent corarae des cas 

 pariiculiers. 



Avani de parler des courbes a double courbure , nous exposons 

 d'abord ce qui est relatif aux courbes planes. 



Si par tous les points d'une courbe plane quelconque proposee et 

 dans le plan de tette couibe , on mene des lignes droites qui la 

 . coupent toutes sous le meme angle, ces lignes serout les tangentes 

 d'une autre courbe que Ton pourra nommer developpoide pour in- 

 diquer son analogie avec la developpee. Et la courbe proposee ren- 

 contranl toutes les tangentes de la developpoide sous un angle constant, 

 on pourra la nommer trajectoire des tangentes ou simplement ira- 

 jectuire. 



Pour une mcmc trajectoire il y a un nombre infini de dcveloppoides 

 diflerentes. Ces courbes soni toujours composees de deux branches 

 distinctes, a I'exception de la developpoide du eerily qui est elle-meme 

 un autre cercle. La developpoide et la developpee d'une meme courbe 

 ont entrc elles divcrses relations parmi lesquelles on pent distinguer 

 celle ci : que la developpee d'une developpoide est en meme tems 

 nne developpoide de la developpee. L'equation des dcveloppoides a 

 cela de remarquable que non-seulement clle convient a toutes les 

 ^ courbes, mais encore a la developpee proprement dite, et a la deve- 



loppanie elle - meme. En sorte que la developpante , la developpee 

 et toutes les developpoides doivenl etre regardees comme faisant partie 

 d'un systeme unique de courbes. 



Si Ton considere deux lignes droites extremement voisines rencontranl 



(1) Les articles non signes sont des auteurs-m^mes , lorsqu'ils sont membrcs dc la 

 Society philomattuque. 



