, . ,, .,. , . , /(x-^ /,) — /■( x) . 

 conque de x , si Ion considere Ja qiianlUe " ■ qm est 



eviilcmment unc fonclion de a- ct (le h , ct qii'oii suppose que Ton 

 y suljsliiue i'l /i des valeurs de plus en plus peiites , les valeurs corres- 

 pondaiitps de ceile louclion ne pourront , si ce n'est pour des valeurs 

 pariicvdieres et isoJees de x, aller en diniinuant ou cii au^nieiiliuit , 

 de maniei'c a dcvcnir plus petiles ou plus gratides que loule gi'andeur 

 donnee; niais leiuiront en j^euernl vers uue liiuiie determlnre , (jue I'oa 

 devra ronsidiirer comme la vidcur (|ue prend ceite quauliie l()rs<]u'ou 

 fa!l h = o , et qu'eile se presente sous la forme indeierminee ~. Cetie 

 valeur sera uecessairement une foiiction dc x , puisque cello de 



f { rr -i- h) — /( cc) 



-. ne dependant en general que de x et de h , ne 



peul plus depcndre que de x quand on y determine h en faisant // = o. 

 C'est , comma on sait , cette f'oiiction qu'on nomme fonctiou derivee , 

 ou cocdicient difleicucicl du premier ordre de la foucliou dusij^nee 

 par /{s:)- 



Pour demonlrer ce thcoreme , M. BInet examine les consequences 

 qui resulteroierit de la supposition que la fouction de x et de h qui est 



^ f( ^-{- h) ~ ff X) 

 cgale a put approclier indefiniment de o ou de ^^ 



en y supposanl h de plus en plus petit pour toutes les valeurs de x 

 comprises duns un certain iulervallc , depuis x ^ a., par exemple , 

 jusqu'ii .x = fi -H ^ , et arrivant dans celte hypoiliose a un resultat con- 

 tradictoire , quelque petit que suit Z» , ii en deduit cetie toiihcquence 

 necessaire, que dans le cas ou cola ariivcroit, ce ne pourroii etre que 

 pour des valeurs particulieres et isulees de x , aiusi que le porte renoncc 

 du llieorenie. 



Eu eflet , Ton peut loujours prendre b assez pelit pour que la 

 fonctiou /(a:) soit toujours croissauie ou toujours decroissanle depuis 



• '■ ,7 III , /(^--hfi) — /('] 

 x^= a jusqua x = a •+■ , et alors les valeurs de — ^ — — - 



comprises dans cet intervalle seront toutes de raeme si"ne que . . 



/(a-hZ') -/■(«) . .. ^^., ^ ^ ^ 



^LX , qui est positive quand /(cc) est croisssante, et ncgaiiie 



T 1 • C- 1 1 • ' f i^ -^ ft) — f (X) 



dans le cas conlraire. i>i done la quantitc — i ■ ^ ^ pouvoit 



pour toutes les valeurs de x comprises cntre x =z a et x = a -\- [> , 

 et en dounant a h uue valeur assez petite , devenir moindre ou plus 

 grande que toute grandeur donnee , on pourroit, dans le premier cas , 

 prendre h assez petit pour que Ton eiat constanmient dans cet iiUeryalk; 



