45 



sur line ligne passant par le point P, et inclinee sur la normale de 

 Tangle 200° — S ; en d'autres termes, la projection du centre de 

 courbure sur le rayon vecteur de la parabole osculatrice. 



Cette propriete remarquablo procure une construction tres sim- 

 ple pour la conique qui touche la proposee par un contact du qua- 

 trieme ordre. 



Le centre C de cette conique est a I'intersection mutuelle des 

 deux lignes consecutives P:; et Pz'. La position du centre C ayant 

 done ete determiuee par cette condition, il ne s'agira plus que de 

 mener une tangente a la parabole enveloppe qu'on vient de defi- 

 nir, ce qui est tres facile, et notamment ne suppose pas la cons- 

 truction effective de cette parabole auxiliairc. 



Par le point C il y aura deux tangentes faisant entre elles un 

 angle droit; mais une seule d'entre elles se trouvecouper la nor- 

 male PO en un point intermediaire aux points P et ; celle-la sera 

 I'axe des foyers de la conique chercbee, qui ainsi sera parfaitement 

 determinee. 



D'apres la propriete fondamentale de la ligne Pz, on trouvera 

 que son equation generale, par le point ( x', xj' ) d'une courbe 

 quelconque est 



y — y -^ , / {x—x') , 

 p — 3p 



p etant comme a I'ordinaire le premier coefficient differentiel de 

 la fonction qui represente I'appiiquee. — II s'ensuit que la recher- 

 cbe du centr^' de la conique osculatrice et de la valeur de son rayon 

 par le lieu de I'osculation, se pent trailer absolument comme la 

 recherche du centre de courbure et de la valeur du rayon de cour- 

 bure. 



Si on appelle a le rayon dela conique osculatrice , pour le lieu 

 de I'osculation, on a 



,^ 3pM/"^^"+9p-- 



et la conique osculatrice sera une ellipse ou une hyperbole, sui- 

 vant que le deuominateur de cette formule sera positif ou negatif ; 

 une parabole lorsqu'il sera uul. 



