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<^' 1. Frobl^iue preliiuiiiaiio : Determiner, en citaque yoint dune 

 courbe donnee, sa parabole osculatriceel son ellipse ou hyper- 

 bole osculatrice . 



Ces determinations se reduisenl a des constructions do la plus 

 grande simplicile, a i'aide d'une propricte noiivelle des sections co- 

 niques, qui consiste en ce que si on coustruit, dans une conique 

 quelconque, la normale de la premiere developpee, c'est-a-dire si 

 on mene par le centre de courbure une parallele a la tangente, la 

 pariie de cette normale comprise entre le centre de courbure el le 

 diametre passant au point de contact esttoujours egale au tiers du 

 rayon de courbure de la premiere developpee. Autremeut, soieut 

 o le rayon de courbure d'une conique, ,&' le rayon de courbure de 

 sa premiere developpee, S Tangle entre h normale el le diamelre 

 mene par le point de contact, on a la relation 



|5' = 3 /3 tang^. 



Soienl done desormais p et p' Il's rayons de courbure d'une 

 courbe et de sa premiere developpee relativement au point quel- 

 conque P, on prolongera la normale de la developpee au-dela du 

 centre de courbure d'une quantileO; _ \ p' et la ligne Pz, pro- 

 longee indeflniment de part et d'autre du point P, sera le lieu des 

 centres de toutes les coniques qui ont avec la proposee un contact 

 du troisieme ordre. 



D'apres cela, et en faisant usage de la relation egalement com - 

 niune a loutes les coniques 



N 



? — 



cos « 



dans laquelle p est toujours le rayon de courbure, N la partie de la 

 normale comprise entre le perimetre etl'axe des foyers, et a I'an- 

 gle du rayon vecteur avec la normale; on construira sans difficulte 

 toute section conique qui, touchant la proposee en P par un con- 

 tact du troisieme ordre, lui presenterait en ce point ses deux rayons 

 vecteurs sous Tangle donne 2 a. Le cas particuiier de a = S sera 

 celui de la parabole osculatrice. 



L'enveloppe des axes de toutes lesconiquesqui, ayant leurs cen- 

 tres sur la ligne Ps, louclicnt ia proposee en P i)ar un contact du 

 troisieme ordre , est une parabole ayant pour directrice cette 

 ineme ligne P;, et pour foyer la proj(iciion du centre de courbure 



