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d'ordrc (Ititermine depenJ de Tangle qui caracterise la spirale lo- 

 garitlimique. Si la spirale tourne d'un nonibre eutier de clrcoofe- 

 rences, elle sera a elle-meme sa caustique. Cette condition depend 

 d'linc equation transcendante analogue a celle qui exprime qu'une 

 spirale logarithmique est a elle-meme sa developpee. C'est une re- 

 lation entre Tangle de la spirale et le nombre de tours que cette 

 courbe a du faire sur elle-meme pour produire sa caustique, nom- 

 bre qui est indelermine dans la question ; de sorte qu'il y a, non 

 pas une seule spirale, mais une classe entiere de spirales loga- 

 rithmiques, qui sont a elles-memes leurs caustiques d'un ordre 

 determine. 



« Pour etendre ces proprietes aux surfaces, il faut rappeler pre- 

 mierement que si un centre emet des rayons sur une surface, un 

 rayon roflecbi ou refracte sera rencontre seulemeut par deux des 

 rayons infiniment voisins; ce qui donne lieu par chaque tel rayon 

 a deux foyers seulement, et par suite, pour Tensemble de tous les 

 rayons reflechis ou refractes, a deux nappes focales. Pour les 

 rayons qui auront subi deux reflexions ou refractions, il y aura 

 deux nouvelles nappes focales, et ainsi de suite a Tinfini. 



" Maintenant si on fait pivoter sur le pole, comme point flxe, le 

 plan d'une des spirales qui sont a elles-memes leurs caustiques 

 d'un ordre determine, ce plan roulant d'ailleurs sur une surface 

 quelconque; cette spirale engendrera une surface qui sera a elle- 

 meme, par rapport au point fixe considere comme centre rayonnant, 

 une des deux nappes focales de ce meme ordre. L'autre nappe focale 

 sera le cone decrit par le plan meme de la spirale dans son mou- 

 ■vement. 



" Plus generalement, si on a construit, par rapport a un point 

 quelconque de son plan, toutcs les caustiques succcssives (par re- 

 flexion ou refraction) d'une courbe plane, la surface, ongendree 

 par cette courbe, pivotant sur le point rayonnant, aura, pour Tune 

 de ces deux nappes focales d'un ordre (juelconque, la surface en- 

 gendree par la caustique de ce meme ordre; et Tautre nappe fo- 

 cale de ce meme ordre, quel qu'il soit, sera toujours le coue qui 

 enveloppe toutes les positions du plan mobile. Ce cone est a la fois, 

 par rapport a la surface engendree, un lieu de rencontre des nor- 

 males inliniment voisines, etaussi un lieu de rencontre de tous los 



